As notas em uma prova de Estatística são normalmente distribuídas com média 76 e desvio padrão 11.
Se a nota para aprovação no curso é no mínimo 70 , qual a porcentagem de estudantes aprovados?

Passo 1

O enunciado dá as informações seguintes:
  • As notas seguem uma distribuição normal com média \mu=76 e desvio padrão \sigma=11.
  • A nota mínima para aprovação é 70.
O que o problema pede:
  • Calcular a porcentagem de estudantes aprovados, ou seja, a probabilidade de uma nota ser maior ou igual a 70.

Passo 2

Ideia geral (sem jargões): para trabalhar com probabilidades em uma normal é comum transformar a nota em uma pontuação padrão (chamada de z-score), que mede quantos desvios-padrão a observação está afastada da média. A fórmula usada é
z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é o valor observado (a nota limite, aqui 70);
  • \mu é a média ( 76);
  • \sigma é o desvio padrão ( 11).
Depois de calcular z usamos a tabela da distribuição normal padrão (função \Phi) para obter probabilidades.

Passo 3

Calcular o z-score para X=70:
z=\frac{70-76}{11}=\frac{-6}{11}=-\frac{6}{11}\approx-0,54545\ldots
Vou usar a aproximação z\approx-0,545.

Passo 4

Traduzir a probabilidade pedida em termos da normal padrão Z:
P(X\ge 70)=P\!\left(Z\ge -0,545\right).
Usando a simetria da normal padrão (ou a propriedade \Phi(-z)=1-\Phi(z)) obtemos
P\!\left(Z\ge -0,545\right)=P\!\left(Z\le 0,545\right)=\Phi(0,545).
Ou seja, basta achar \Phi(0,545) na tabela da normal padrão.

Passo 5

Consultar a tabela da normal padrão (valores usuais):
\Phi(0,54)=0,7054,\qquad \Phi(0,55)=0,7088.
O nosso z=0,545 está exatamente no meio entre 0,54 e 0,55, então fazemos uma interpolação linear simples:
diferença = 0,7088-0,7054=0,0034. Metade disso é 0,0017.
Portanto
\Phi(0,545)\approx 0,7054+0,0017=0,7071.

Passo 6

Converter a probabilidade em porcentagem:
0,7071 \times 100\% \approx 70,71\%.
Arredondando para uma casa decimal (suficiente na maioria das provas):
70,7\%.
Força aí — essa é a resposta que você precisa decorar para a prova: cerca de sete em cada dez alunos passam.

Resposta

70,7\%

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