Uma aplicação clássica da distribuição normal é inspirada em uma carta a Dear Abby, em que uma esposa alegava ter dado à luz 310 dias após uma rápida visita de seu marido que estava servindo na Marinha. Os prazos da gravidez têm distribuição normal com média de 268 dias e desvio padrão de 15 dias.
a) Com base nessa informação, determine a probabilidade de uma gravidez durar 310 dias ou mais. 0,0026
b) Que o resultado sugere? Evento muito raro, com baixa probabilidade ou então traição.
c) Qual a probabilidade de uma gravidez durar entre 270 e 280 dias? 0,2364

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tempo de gestação tem distribuição normal com média \mu = 268 dias e desvio padrão \sigma = 15 dias.
    • Observação específica: gravidez durou 310 dias; também pedem um intervalo entre 270 e 280 dias.
  • Perguntas:
    a) Determinar a probabilidade de uma gravidez durar 310 dias ou mais, isto é P(X \ge 310).
    b) Interpretar o resultado (o que o valor sugere).
    c) Determinar a probabilidade de uma gravidez durar entre 270 e 280 dias, isto é P(270 \le X \le 280).

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (padronização) — aula rápida e prática.
  • Para qualquer variável aleatória X com distribuição normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^2), para calcular probabilidades usamos a padronização:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1).
  • O que isso significa: transformamos qualquer X em um número adimensional Z que mede quantos desvios-padrão X está distante da média. Assim probabilidades de X viram probabilidades de Z, que consultamos em uma tabela da normal padrão ou calculadora.
  • Exemplo curto: se X=310, \mu=268, \sigma=15, então Z=(310-268)/15. Cada símbolo:
    • X = valor da variável original (dias);
    • \mu = média (dias);
    • \sigma = desvio padrão (dias);
    • Z = número adimensional (desvios-padrão).

Passo 3

Resolver (a) passo a passo.
  • Calcular o escore Z para X=310:
Z=\frac{310-268}{15}=\frac{42}{15}=2{,}8.
  • Queremos P(X\ge 310)=P\big(Z\ge 2{,}8\big).
  • Usando a tabela da normal padrão ou calculadora, obtemos a função de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z\le z). Então
P\big(Z\ge 2{,}8\big)=1-\Phi(2{,}8).
  • Valor da tabela: \Phi(2{,}8)=0{,}99744 (tabela padrão). Logo
P(X\ge 310)=1-0{,}99744=0{,}00256\approx 0{,}0026.
  • Interpretação numérica: a probabilidade é aproximadamente 0{,}26\%, ou seja muito pequena.

Passo 4

Interpretação e comentário para (b) — como falar disso numa prova ou numa discussão.
  • Um evento com probabilidade tão baixa ( \approx 0{,}26\%) é considerado raro no contexto dessa distribuição.
  • Em linguagem prática: ou ocorreu um evento bastante improvável naturalmente, ou a suposição de que a concepção ocorreu conforme relatado pode estar errada (o que, coloquialmente, leva à hipótese de traição).
  • Em prova: a conclusão correta é que a observação é altamente improvável sob o modelo dado; qualquer conclusão causal extra (como traição) requer evidências adicionais, mas estatisticamente a observação é um outlier.

Passo 5

Resolver (c) passo a passo.
  • Primeiro padronizar os limites:
Z_1=\frac{270-268}{15}=\frac{2}{15}=0{,}133333\ldots\approx 0{,}1333,
Z_2=\frac{280-268}{15}=\frac{12}{15}=0{,}8.
  • Queremos
P(270\le X\le 280)=P\big(0{,}1333\le Z\le 0{,}8\big)=\Phi(0{,}8)-\Phi(0{,}1333).
  • Valores da tabela / cálculo:
    • \Phi(0{,}8)=0{,}7881446 (tabela padrão),
    • \Phi(0{,}1333) pode ser aproximado por séries ou tabela; usando expansão via função erro ou uma tabela interpolada, obtemos \Phi(0{,}1333)\approx 0{,}5530105.
  • Subtraindo:
P(270\le X\le 280)=0{,}7881446-0{,}5530105=0{,}2351341\approx 0{,}2351.
  • Observação sobre arredondamento: tabelas com menos casas ou arredondamentos diferentes podem dar um valor ligeiramente distinto (por exemplo 0{,}2364); a diferença é pequena e vem de arredondamentos na leitura da tabela.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (curtas e úteis).
  • Decore a fórmula de padronização Z=(X-\mu)/\sigma e pratique transformar limites.
  • Use a tabela da normal padrão para \Phi(z). Para z positivo, P(Z\ge z)=1-\Phi(z). Para z negativo, use simetria: \Phi(-z)=1-\Phi(z).
  • Quando for dar interpretação, diga sempre “muito improvável sob o modelo” em vez de afirmar causas sem mais provas.
  • Respira fundo — esses cálculos são mecânicos: padroniza, consulta tabela, subtrai.

Resposta

a) 0,0026
b) Evento muito raro (probabilidade baixa); sugere que a alegação é improvável — alternativamente, poderia indicar traição.
c) 0,2351

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