Determine a região
para a qual a integral tripla
é máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a região $ E $ onde a integral tripla
é máxima. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais triplas em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função dentro da integral é positiva, porque queremos maximizar a soma dessas áreas positivas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que está sendo integrada:
Para que a integral seja máxima, a gente quer que $ f(x, y, z) $ seja o maior possível em todo o volume que estamos integrando. Isso significa que a gente quer que $ f(x, y, z) $ seja positiva. Se a gente incluir áreas onde $ f $ é negativa, isso iria diminuir o valor total da integral.
Passo 3
Então, vamos encontrar onde $ f(x, y, z) $ é positiva:
Vamos rearranjar essa inequação para entender melhor:
Passo 4
Essa inequação descreve um conjunto de pontos $ (x, y, z) $ que estão dentro de uma determinada forma geométrica. Observamos que os coeficientes de $ y^{2} $ e $ z^{2} $ são diferentes, o que nos indica que estamos lidando com uma elipsoide, uma espécie de esfera “esticada” em diferentes direções.
Passo 5
Portanto, a região $ E $ que maximiza a integral é exatamente o interior dessa elipsoide. A equação completa da região $ E $ é:
Resposta
A região $ E $ que maximiza a integral é a elipsoide definida por