Determine a região E para a qual a integral tripla
integral triplaE(1-x^2-2 y^2-3 z^2) d V
é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a região $ E $ onde a integral tripla
E
é máxima. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais triplas em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função dentro da integral é positiva, porque queremos maximizar a soma dessas áreas positivas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está sendo integrada:
f(x, y, z) = 1 - x^2 - 2 y^2 - 3 z^2
Para que a integral seja máxima, a gente quer que $ f(x, y, z) $ seja o maior possível em todo o volume que estamos integrando. Isso significa que a gente quer que $ f(x, y, z) $ seja positiva. Se a gente incluir áreas onde $ f $ é negativa, isso iria diminuir o valor total da integral.

Passo 3

Então, vamos encontrar onde $ f(x, y, z) $ é positiva:
f(x, y, z)
Vamos rearranjar essa inequação para entender melhor:
1 - x^2 - 2 y^2 - 3 z^2 > 0

Passo 4

Essa inequação descreve um conjunto de pontos $ (x, y, z) $ que estão dentro de uma determinada forma geométrica. Observamos que os coeficientes de $ y^{2} $ e $ z^{2} $ são diferentes, o que nos indica que estamos lidando com uma elipsoide, uma espécie de esfera “esticada” em diferentes direções.

Passo 5

Portanto, a região $ E $ que maximiza a integral é exatamente o interior dessa elipsoide. A equação completa da região $ E $ é:
E

Resposta

A região $ E $ que maximiza a integral é a elipsoide definida por
E

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