Teste a convergência ou divergência da série
sumn=1^infty n 6^ne^3 n+1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^infty n,6^ne^3n+1. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas e vamos usar o critério da razão, pois o termo geral envolve um fator exponencial e um fator linear em n.

Passo 2

Escrevemos o termo geral da série como an = n,6^ne^3n+1 e simplificamos isolando uma constante:

Passo 3

an = 1e,n(6e^3)^n

Passo 4

Aplicamos o critério da razão, calculando
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty (n+1),6^n+1 / e^3(n+1)+1n,6^n / e^3n+1 = limntoinfty n+1n cdot 6e^3 = 6e^3
Como e^3>6, temos L=6/e^3<1, garantindo convergência absoluta da série.

Resposta

A série converge absolutamente, pois o critério da razão dá L=6/e^3<1.

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