Verifique se a série alternada é convergente.
Passo 1
O exercício pede para verificar a convergência da série alternada
. O conteúdo principal é o teste da convergência de séries alternadas e o teste do termo geral. Vamos precisar do comportamento de
quando
.
Passo 2
Para que qualquer série
seja convergente, é necessário que
quando
. Aqui, o termo geral é
, e seu valor absoluto é
.
Vamos calcular o limite de . Sabemos que
. Como esse limite não é zero, a condição necessária para convergência não é satisfeita.
Vamos calcular o limite de
Passo 3
Como o termo geral não tende a zero, concluímos que a série diverge por falhar no teste do termo geral, sem precisar recorrer ao critério de séries alternadas.
Passo 4
Portanto, a série
é divergente.
Resposta
A série é divergente, pois o termo geral não tende a zero.