Teste a convergência ou divergência das séries.

n=1
n!
e{n{2}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} n! \, e^{n^{2}}.
Informações dadas: a expressão geral do termo é a_{n}=n! \, e^{n^{2}} para n=1,2,3,\dots. A pergunta é única: determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Vamos lembrar de um fato essencial (teste necessário): se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então o termo geral a_{n} necessariamente tende a zero quando n\to\infty. Em fórmulas:
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\\ \text{converge, então }\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.ã
Explicando por que isso é verdade (intuição e pequeno argumento): se os termos não vão a zero, então há um \varepsilon>0 e uma subsequência de termos com módulo sempre maior que \varepsilon; ao somar esses termos a soma parcial não pode se estabilizar, logo não há convergência. Esse é um teste rápido para eliminar séries que claramente não podem convergir.

Passo 3

Calculemos o limite do termo geral a_{n}=n! \, e^{n^{2}} quando n\to\infty.
Primeiro, sabe-se que o fatorial cresce sem limite:
\lim_{n\to\infty} n! = +\infty.
Também a exponencial com argumento que cresce dá infinito:
\lim_{n\to\infty} e^{n^{2}} = +\infty.
Produto de duas quantidades que tendem a +\infty também tende a +\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} n! \, e^{n^{2}} = +\infty.
(Em palavras: os termos da sequência não só não vão a zero, eles ficam cada vez maiores.)

Passo 4

Aplicando o teste necessário do Passo 2: como \lim_{n\to\infty} a_{n}\neq 0 (na verdade é +\infty), a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} não pode convergir. Conclusão: a série diverge.

Passo 5

Comentário didático e encorajador: esse tipo de verificação é a primeira coisa que você deve fazer numa prova — olhar o termo geral. Se ele não tende a zero, acabou o assunto: diverge. Se por acaso o termo tende a zero, aí sim você terá que aplicar testes mais sofisticados (comparação, razão, raiz, integral, etc.). Bom trabalho: você já eliminou essa série rapidinho!

Resposta

A série diverge.

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