Teste a convergência ou divergência das séries.
∑
n=1
∞
n!
e{n{2}}
∑
n=1
e{n{2}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
Informações dadas: a expressão geral do termo é
para
. A pergunta é única: determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Vamos lembrar de um fato essencial (teste necessário): se a série
converge, então o termo geral
necessariamente tende a zero quando
. Em fórmulas:
Explicando por que isso é verdade (intuição e pequeno argumento): se os termos não vão a zero, então há um
e uma subsequência de termos com módulo sempre maior que
; ao somar esses termos a soma parcial não pode se estabilizar, logo não há convergência. Esse é um teste rápido para eliminar séries que claramente não podem convergir.
Passo 3
Calculemos o limite do termo geral
quando
.
Primeiro, sabe-se que o fatorial cresce sem limite:
Também a exponencial com argumento que cresce dá infinito:
Produto de duas quantidades que tendem a
também tende a
. Portanto
(Em palavras: os termos da sequência não só não vão a zero, eles ficam cada vez maiores.)
Passo 4
Aplicando o teste necessário do Passo 2: como
(na verdade é
), a série
não pode convergir. Conclusão: a série diverge.
Passo 5
Comentário didático e encorajador: esse tipo de verificação é a primeira coisa que você deve fazer numa prova — olhar o termo geral. Se ele não tende a zero, acabou o assunto: diverge. Se por acaso o termo tende a zero, aí sim você terá que aplicar testes mais sofisticados (comparação, razão, raiz, integral, etc.). Bom trabalho: você já eliminou essa série rapidinho!
Resposta
A série diverge.