Teste a convergência ou divergência das séries.
∑
n=2
∞
(−1)^{n-1}
√n−1
∑
n=2
√n−1
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
Informações dadas e observações imediatas:
O somatório começa em
.
O termo geral é
com
, portanto os sinais alternam.
Precisamos decidir se a série converge (absoluta ou condicionalmente) ou diverge.
Passo 2
Verificar se os termos
tendem a zero (primeira condição natural para qualquer convergência de série). Vou calcular
Para ver esse limite é útil dividir numerador e denominador por
:
Como
, o numerador tende a
e o denominador tende a
. Logo
Portanto a condição necessária
está satisfeita.
Passo 3
Verificar se a sequência
é monótona decrescente para que possamos usar um critério de séries alternantes. Note que, para
,
Compare
e
. Como
temos
. Como estamos lidando com recíprocos positivos, isso implica
Portanto
é decrescente para
.
Passo 4
Explicar o teste de Leibniz (teste da série alternante) e aplicá-lo. O teste de Leibniz diz:
Se é uma sequência positiva, decrescente e
, então a série alternante
Se
converge. Nós já verificamos nos passos anteriores que
,
e
. Logo, por Leibniz, a série
converge.
Passo 5
Agora verificar convergência absoluta (isto é, se
converge). Considere a série das moduli:
Para testar essa série, use a comparação assintótica com a série harmônica generalizada
. Defina
. Calcule o limite
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Como esse limite é um número finito e positivo, pelo critério da comparação limite (limit comparison test) as duas séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Sabemos que
diverge porque é uma série
-com
. Portanto
diverge.
Passo 6
Conclusão final lógica: a série original é alternante e satisfaz as condições do teste de Leibniz, logo converge. Contudo a série dos valores absolutos diverge, portanto a convergência não é absoluta. Em linguagem padrão: a série converge condicionalmente.
Resposta
Converge condicionalmente.