Teste a convergência ou divergência das séries.

n=2
(−1)^{n-1}
√n−1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
\;1) O somatório começa em n=2.
\;2) O termo geral é (-1)^{n-1}a_n com a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}-1}, portanto os sinais alternam.
\;3) Precisamos decidir se a série converge (absoluta ou condicionalmente) ou diverge.

Passo 2

Verificar se os termos a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}-1} tendem a zero (primeira condição natural para qualquer convergência de série). Vou calcular
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}-1}.
Para ver esse limite é útil dividir numerador e denominador por \sqrt{n}:
\frac{1}{\sqrt{n}-1}=\frac{1/\sqrt{n}}{1-1/\sqrt{n}}.
Como \lim_{n\to\infty}1/\sqrt{n}=0, o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1. Logo
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Portanto a condição necessária \lim a_n=0 está satisfeita.

Passo 3

Verificar se a sequência (a_n) é monótona decrescente para que possamos usar um critério de séries alternantes. Note que, para n\ge2,
a_n=\frac{1}{\sqrt{n}-1}>0.
Compare a_{n+1} e a_n. Como \sqrt{n+1}>\sqrt{n} temos \sqrt{n+1}-1>\sqrt{n}-1. Como estamos lidando com recíprocos positivos, isso implica
a_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-1}<\frac{1}{\sqrt{n}-1}=a_n.
Portanto (a_n) é decrescente para n\ge2.

Passo 4

Explicar o teste de Leibniz (teste da série alternante) e aplicá-lo. O teste de Leibniz diz:
Se (a_n) é uma sequência positiva, decrescente e \lim_{n\to\infty} a_n=0, então a série alternante
\sum_{n} (-1)^{n-1} a_n
converge. Nós já verificamos nos passos anteriores que a_n>0, a_{n+1}<a_n e \lim_{n\to\infty}a_n=0. Logo, por Leibniz, a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-1}
converge.

Passo 5

Agora verificar convergência absoluta (isto é, se \sum |(-1)^{n-1}a_n|=\sum a_n converge). Considere a série das moduli:
\sum_{n=2}^{\infty} a_n=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}-1}.
Para testar essa série, use a comparação assintótica com a série harmônica generalizada \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sum n^{-1/2}. Defina b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Calcule o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{\sqrt{n}-1}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}.
Dividindo numerador e denominador por \sqrt{n} obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-1/\sqrt{n}}=1.
Como esse limite é um número finito e positivo, pelo critério da comparação limite (limit comparison test) as duas séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Sabemos que \sum b_n=\sum n^{-1/2} diverge porque é uma série p-com p=\tfrac{1}{2}\le 1. Portanto \sum a_n diverge.

Passo 6

Conclusão final lógica: a série original é alternante e satisfaz as condições do teste de Leibniz, logo converge. Contudo a série dos valores absolutos diverge, portanto a convergência não é absoluta. Em linguagem padrão: a série converge condicionalmente.

Resposta

Converge condicionalmente.

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