Teste a convergência ou divergência das séries.
∑
n=1
∞
3{n}n{2}
n!
∑
n=1
n!
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série cuja soma vai de
até
e cujo termo geral é
Informações relevantes fornecidas:
- A série é
. - O termo geral é positivo para todo
(pois , e ).
A partir daqui vamos decidir um teste apropriado e calcular passo a passo.
Passo 2
Vou usar o teste da razão (teste de d’Alembert), que é muito conveniente quando aparecem fatoriais ou potências. Vou primeiro enunciar o teste de forma simples e intuitiva:
- Seja
. Defina
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui temos
, e
, então o teste é aplicável.
Passo 3
Calculo a razão
passo a passo:
Agora uso
para simplificar a última fração:
Substituindo:
Passo 4
Agora calculo o limite quando
. Observe que
, e ambos os termos tendem a
. Portanto
Multiplicando por
,
Como
, pelo teste da razão a série
converge.
Passo 5
Interpretação e observação final (didática e motivacional): aqui deu certo porque o fatorial
cresce muito mais rápido que a potência
e que o polinômio
. O teste da razão quantifica isso: a razão entre termos sucessivos tende a
, o que garante convergência absoluta. Você pode pensar também que
converge (dá
), e multiplicar por
ainda não estraga a convergência porque
é só um polinômio; o fatorial domina.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).