Teste a convergência ou divergência das séries.

n=1
3{n}n{2}
n!

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série cuja soma vai de n=1 até \infty e cujo termo geral é
\frac{3^{n} n^{2}}{n!}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A série é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n^{2}}{n!}.
  • O termo geral é positivo para todo n (pois 3^{n}>0, n^{2}>0 e n!>0).
    A partir daqui vamos decidir um teste apropriado e calcular passo a passo.

Passo 2

Vou usar o teste da razão (teste de d’Alembert), que é muito conveniente quando aparecem fatoriais ou potências. Vou primeiro enunciar o teste de forma simples e intuitiva:
  • Seja a_n>0. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui temos a_n=\dfrac{3^{n} n^{2}}{n!}, e a_n>0, então o teste é aplicável.

Passo 3

Calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{3^{\,n+1}(n+1)^{2}}{(n+1)!}}{\dfrac{3^{n}n^{2}}{n!}} = 3\cdot\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{n!}{(n+1)!}.
Agora uso (n+1)!=(n+1)n! para simplificar a última fração:
\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}.
Substituindo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3\cdot\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{1}{n+1} = 3\cdot\frac{n+1}{n^{2}}.

Passo 4

Agora calculo o limite quando n\to\infty. Observe que \dfrac{n+1}{n^{2}}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}, e ambos os termos tendem a 0. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^{2}}=0.
Multiplicando por 3,
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=3\cdot 0 = 0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n} n^{2}}{n!} converge.

Passo 5

Interpretação e observação final (didática e motivacional): aqui deu certo porque o fatorial n! cresce muito mais rápido que a potência 3^{n} e que o polinômio n^{2}. O teste da razão quantifica isso: a razão entre termos sucessivos tende a 0, o que garante convergência absoluta. Você pode pensar também que \sum 3^{n}/n! converge (dá e^{3}), e multiplicar por n^{2} ainda não estraga a convergência porque n^{2} é só um polinômio; o fatorial domina.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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