Teste a convergência ou divergência das séries.
∑
n=1
∞
n{2}e{-n^{3}}
∑
n=1
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
Informações dadas relevantes:
são termos positivos para todo
. A pergunta é: a soma infinita desses termos converge (tem valor finito) ou diverge?
Passo 2
Escolha do método: como os termos envolvem uma potência polinomial
multiplicada por um decaimento exponencial
, o teste da raiz (root test) é muito conveniente — o expoente cúbico
se simplifica ao tomar a
-ésima raiz. Vou usar o teste da raiz porque ele costuma ser rápido e rigoroso quando aparecem exponentes que dependem fortemente de
.
Enunciado do teste da raiz (explicado de forma didática):
Seja uma sequência de termos não negativos. Defina
Seja
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição: a
-ésima raiz mede a taxa exponencial de decaimento de
. Se essa taxa é menor que 1, os termos caem rapidamente como uma progressão geométrica e a soma converge.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz ao nosso
. Primeiro calculamos a
-ésima raiz de
:
Usando propriedades de potências:
Portanto
Agora avaliamos o limite quando
. Sabemos (vamos mostrar por um passo curto) que
Justificativa rápida: tomar logaritmo dá
, e
quando
; logo
.
Também sabemos que
porque o expoente
vai a
muito rápido.
Multiplicando os limites (produto de uma sequência que tende a 1 por outra que tende a 0):
Assim o valor
do teste da raiz é
, que claramente satisfaz
.
Passo 4
Conclusão pelo teste da raiz: como
, a série
converge absolutamente, portanto converge. Intuição final: o fator exponencial
decai tão rápido que vence qualquer crescimento polinomial
.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).