Teste a convergência ou divergência das séries.

n=1
n{2}e{-n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}}.
Informações dadas relevantes:
a_n = n^{2} e^{-n^{3}}
são termos positivos para todo n. A pergunta é: a soma infinita desses termos converge (tem valor finito) ou diverge?

Passo 2

Escolha do método: como os termos envolvem uma potência polinomial n^{2} multiplicada por um decaimento exponencial e^{-n^{3}}, o teste da raiz (root test) é muito conveniente — o expoente cúbico -n^{3} se simplifica ao tomar a n-ésima raiz. Vou usar o teste da raiz porque ele costuma ser rápido e rigoroso quando aparecem exponentes que dependem fortemente de n.
Enunciado do teste da raiz (explicado de forma didática):
Seja (a_n) uma sequência de termos não negativos. Defina
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição: a n-ésima raiz mede a taxa exponencial de decaimento de a_n. Se essa taxa é menor que 1, os termos caem rapidamente como uma progressão geométrica e a soma converge.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz ao nosso a_n. Primeiro calculamos a n-ésima raiz de a_n:
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{n^{2} e^{-n^{3}}}.
Usando propriedades de potências:
\sqrt[n]{n^{2}} = n^{2/n}, \qquad \sqrt[n]{e^{-n^{3}}} = e^{-n^{3}/n} = e^{-n^{2}}.
Portanto
\sqrt[n]{a_n} = n^{2/n}\, e^{-n^{2}}.
Agora avaliamos o limite quando n\to\infty. Sabemos (vamos mostrar por um passo curto) que
\lim_{n\to\infty} n^{2/n} = 1.
Justificativa rápida: tomar logaritmo dá \ln(n^{2/n}) = \tfrac{2}{n}\ln n, e \tfrac{2}{n}\ln n \to 0 quando n\to\infty; logo n^{2/n}\to e^{0}=1.
Também sabemos que
\lim_{n\to\infty} e^{-n^{2}} = 0,
porque o expoente -n^{2} vai a -\infty muito rápido.
Multiplicando os limites (produto de uma sequência que tende a 1 por outra que tende a 0):
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \left(\lim_{n\to\infty} n^{2/n}\right)\left(\lim_{n\to\infty} e^{-n^{2}}\right) = 1\cdot 0 = 0.
Assim o valor L do teste da raiz é 0, que claramente satisfaz L<1.

Passo 4

Conclusão pelo teste da raiz: como L=0<1, a série \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}} converge absolutamente, portanto converge. Intuição final: o fator exponencial e^{-n^{3}} decai tão rápido que vence qualquer crescimento polinomial n^{2}.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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