Teste a convergência ou divergência das séries.
sumk=2^infty k^2k^2-1

Passo 1

A série em estudo é sumk=2^infty k^2k^2-1. O conteúdo envolvido são séries numéricas e vamos usar principalmente o teste do termo geral (teste do termo n-ésimo) para avaliar a convergência.

Passo 2

O termo geral da série é ak = k^2k^2-1 Podemos reescrever esse termo como uma soma de partes mais simples: ak = k^2-1+1k^2-1 = 1 + 1k^2-1

Passo 3

Para aplicar o teste do termo geral, calculamos o limite de ak quando k to infty: limktoinfty ak = limktoinfty l(1 + 1k^2-1r) = 1 + 0 = 1 Como o limite do termo geral ak não é zero (é igual a 1), pelo teste do termo n-ésimo a série não pode convergir.

Passo 4

Portanto, a série diverge, pois seu termo geral não tende a zero, condição necessária para a convergência.

Resposta

A série diverge.

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