Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty 5-2 raiznn^3

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^infty5-2raiznn^3. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries, em especial séries do tipo p-série e combinações lineares de séries convergentes.

Passo 2

Perceba que o termo geral pode ser decomposto em duas parcelas:
5-2raiznn^3=5n^3-2raiznn^3
Assim temos duas séries separadas:
5sumn=1^infty1n^3e2sumn=1^infty1n^5/2

Passo 3

Para cada parcela aplicamos o teste da p-série (ou série de Riemann): uma série sum n^-p converge se e somente se p>1.
Aqui, na primeira parcela p=3>1, então sum n^-3 converge.
Na segunda parcela p=5/2>1, então sum n^-5/2 também converge.

Passo 4

Como cada uma das duas séries converge e nossa série original é combinação linear delas, concluímos que a série dada converge. Além disso, ambas são séries de termos positivos, o que garante convergência absoluta da combinação.

Resposta

A série converge absolutamente.

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