Determinar as seguintes integrais ao longo dos caminhos fechados:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a integral de linha fechada
, onde o caminho
é o círculo definido por
,
,
,
. Vamos usar parametrização de curvas e as propriedades de integrais de campos vetoriais.
Passo 2
Como a curva
está dada por
, calculamos as derivadas:
A integral se torna
.
Passo 3
Substituindo
,
,
em
,
e
, obtém-se:
Como
, o termo
desaparece.
Passo 4
Montamos o integrando:
Expandindo:
Passo 5
Agora integramos de 0 a
termo a termo:
-
por substituição . -
(é ). -
. -
.
Somando dá.
Passo 6
Portanto, a integral de linha fechada vale
.
Resposta
-\pi