Determinar as seguintes integrais ao longo dos caminhos fechados:
ointC[(x y+z) d x+(x-y) d y+4 z d z]
C: r(t)=(sen t, cos t, pi), t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede para determinar a integral de linha fechada ointCl[(xy+z),dx+(x-y),dy+4z,dzr], onde o caminho C é o círculo definido por x=sin t, y=cos t, z=pi, tin[0,2pi]. Vamos usar parametrização de curvas e as propriedades de integrais de campos vetoriais.

Passo 2

Como a curva C está dada por vec r(t)=(sin t,,cos t,,pi), calculamos as derivadas:
dxdt=cos t, dydt=-sin t, dzdt=0
A integral se torna integral0^2pil[P(x,y,z),x'(t)+Q(x,y,z),y'(t)+R(x,y,z),z'(t)r]dt.

Passo 3

Substituindo x=sin t, y=cos t, z=pi em P=xy+z, Q=x-y e R=4z, obtém-se:
P=sin tcos t+pi, Q=sin t-cos t, R=4pi
Como dz/dt=0, o termo R,dz desaparece.

Passo 4

Montamos o integrando:
I(t)=(sin tcos t+pi)(cos t)+(sin t-cos t)(-sin t)
Expandindo:
I(t)=sin tcos^2t+picos t-sin^2t+sin tcos t

Passo 5

Agora integramos de 0 a 2pi termo a termo:
  • integral0^2pisin tcos^2t,dt=0 por substituição u=cos t.
  • integral0^2pisin tcos t,dt=0 tfrac12integral0^2pisin2t,dt).
  • integral0^2pi(-sin^2t),dt=-pi.
  • integral0^2pipicos t,dt=pi[sin t]0^2pi=0.
    Somando dá -pi.

Passo 6

Portanto, a integral de linha fechada vale -pi.

Resposta

-\pi

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