Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty(-1)^n-1 e^1 / nn

Passo 1

Então, o exercício pede pra testar se a série sumn=1^infty(-1)^n-1e^1/nn converge ou diverge. O assunto aqui é séries alternadas, e vamos usar o teste de Leibniz, além de verificar a convergência absoluta por comparação.

Passo 2

Primeiro, checamos o limite dos termos bn = e^1/nn. Como limntoinftye^1/n=1, temos
limntoinftye^1/nn = limntoinfty1n = 0

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que bn é monótono decrescente. Calculamos
bn+1bn = e^1/(n+1)/(n+1)e^1/n/n = nn+1expl(1n+1-1nr) = nn+1expl(-1n(n+1)r)
Como nn+1<1 e o expoente é negativo, conclui-se bn+1bn<1, ou seja, bn+1 para todo n.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz (séries alternadas), se bn decresce e tende a zero, allora a série sum(-1)^n-1bn converge. Portanto, nossa série converge.

Passo 5

Para checar a convergência absoluta, comparamos:
e^1/nn > 1n,
pois e^1/n>1. Como sumn=1^infty1n diverge (série harmônica), segue que sumn=1^inftye^1/nn também diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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