Teste a convergência ou divergência das séries.
sumk=1^infty 4^k3^k+5^k

Passo 1

A série em questão é sumk=1^infty 4^k3^k+5^k, que tem termos positivos. O conteúdo principal aqui é o teste de comparação direta para séries e a noção de série geométrica.

Passo 2

Para usar o teste de comparação, notamos que para todo k vale 3^k+5^k >= 5^k. Assim, o termo geral ak=4^k3^k+5^k satisfaz
4^k3^k+5^k <= 4^k5^k = (45)^k
A série sumk=1^infty (45)^k é geométrica de razão r=tfrac45, com |r|<1, logo convergente.

Passo 3

Pelo teste de comparação direta, como 0 <= ak <= (4/5)^k e sum (4/5)^k converge, concluímos que a série dada também converge.

Resposta

A série converge.

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