Para quais valeres de
cada série é convergente?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a série alternante
. O conteúdo é teste de convergência de séries alternantes (critérios de Leibniz). Para resolver, precisamos garantir que o denominador nunca seja zero e que o termo geral em módulo seja decrescente e tenda a zero.
Passo 2
Condição de existência: o termo
só faz sentido se
para todo
. Logo, devemos ter
para nenhum inteiro
, ou seja,
Verificação das hipóteses de Leibniz: definimos . Para a convergência alternante, basta verificar que
é (eventualmente) decrescente e
.
Verificação das hipóteses de Leibniz: definimos
Passo 3
Mostramos que
. Em seguida, note que a função
tem derivada
para
. Portanto, a partir de algum índice
a sequência
é decrescente.
Passo 4
Conclusão: pelo teste de Leibniz, a série alternante converge condicionalmente sempre que não há problema de denominador nulo, isto é, para todo
tal que
.
Resposta
A série converge condicionalmente para todo real
que não seja inteiro negativo, isto é,
.