Para quais valeres de p cada série é convergente?
sumn=1^infty (-1)^n+1n+p

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série alternante sumn=1^infty (-1)^n+1n + p. O conteúdo é teste de convergência de séries alternantes (critérios de Leibniz). Para resolver, precisamos garantir que o denominador nunca seja zero e que o termo geral em módulo seja decrescente e tenda a zero.

Passo 2

Condição de existência: o termo an = tfrac(-1)^n+1n + p só faz sentido se n + p neq 0 para todo ninN. Logo, devemos ter p neq -n para nenhum inteiro n>=1, ou seja, pnotin-1,-2,-3,dots
Verificação das hipóteses de Leibniz: definimos bn = tfrac1|n + p|. Para a convergência alternante, basta verificar que bn é (eventualmente) decrescente e limntoinftybn=0.

Passo 3

Mostramos que limntoinftybn = limntoinftytfrac1n+p = 0. Em seguida, note que a função f(x)=tfrac1x+p tem derivada f'(x) = -tfrac1(x+p)^2<0 para x>-p. Portanto, a partir de algum índice N0> -p a sequência (bn) é decrescente.

Passo 4

Conclusão: pelo teste de Leibniz, a série alternante converge condicionalmente sempre que não há problema de denominador nulo, isto é, para todo pinR tal que pneq -1,-2,-3,dots.

Resposta

A série converge condicionalmente para todo real p que não seja inteiro negativo, isto é, pinRsetminus-1,-2,-3,dots.

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