A mola de um sistema massa-mola tem constante de 3 N / m. É presa uma massa de 2 kg na mola e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece resistência (em Newtons) numericamente igual ao módulo da velocidade instantânea ( em m / s ). O sistema sofre a ação de uma força externa de 3 cos (3 t)- 2 sen(3 t) N. Se a massa parte da posição de equilíbrio e em repouso, determine:
a) a posição da massa em função do tempo;
b) a posição do estado estacionário;
c) repita os itens a) e b) se ao invés de 3 cos (3 t)- 2 sen(3 t) N, a força externa fosse dada por e^-t N;

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema massa-mola amortecido, com massa m=2, constante da mola k=3 e coeficiente de amortecimento c=1, sujeito à força externa. Partindo da posição de equilíbrio e em repouso, vamos formular e resolver a equação diferencial do movimento.

Passo 2

A equação do movimento é
m,x''(t)+c,x'(t)+k,x(t)=F(t),
logo, substituindo m=2, c=1, k=3 e F(t)=3cos(3t)-2sin(3t), obtemos
2,x''(t)+x'(t)+3,x(t)=3cos(3t)-2sin(3t)

Passo 3

A equação homogênea associada é
2,x''+x'+3,x=0
A equação característica é
2r^2+r+3=0Longrightarrow r=-1pm iraiz234
Logo a solução homogênea é
xh(t)=e^-t/4l(Acosl(tfracraiz234tr)+Bsinl(tfracraiz234tr)r)

Passo 4

Para encontrar uma particular de
2x''+x'+3x=3cos(3t)-2sin(3t),
fazemos a ansatz xp=Ccos(3t)+Dsin(3t). Calculando xp' e xp'' e substituindo, chegamos ao sistema
-15C+3D=3, -3C-15D=-2,
cuja solução é
C=-tfrac16, D=tfrac16
Portanto
xp(t)=tfrac16l(-cos(3t)+sin(3t)r)

Passo 5

A solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t) =e^-t/4l(Acos(omega t)+Bsin(omega t)r) +tfrac16l(-cos(3t)+sin(3t)r),
com omega=tfracraiz234. Aplicando x(0)=0 e x'(0)=0 obtemos
A=tfrac16, B=-116raiz23

Passo 6

a) A posição em função do tempo é
boxed x(t) =e^-t/4l(tfrac16cos(tfracraiz234t) -tfrac116raiz23sin(tfracraiz234t)r) +tfrac16l(-cos(3t)+sin(3t)r)
b) O estado estacionário (solução de regime permanente) é a parte particular:
boxed xss(t)=tfrac16l(-cos(3t)+sin(3t)r) =raiz26sinl(3t-tfracpi4r)

Passo 7

Agora com F(t)=e^-t, a equação fica
2x''+x'+3x=e^-t
Tentamos xp=Ae^-t. Como -1 não é raiz da característica, substituímos e achamos
4A=1Longrightarrow A=tfrac14,
ou seja xp(t)=tfrac14e^-t.

Resposta

A solução geral é
x(t)=e^-t/4l(Ccos(omega t)+Dsin(omega t)r)+tfrac14e^-t,
com omega=tfracraiz234. Impondo x(0)=0, x'(0)=0 vem
C=-tfrac14, D=34raiz23
Portanto, para F(t)=e^-t,
boxed x(t) =e^-t/4l(-tfrac14cos(tfracraiz234t) +tfrac34raiz23sin(tfracraiz234t)r) +tfrac14e^-t
No regime permanente, como todos os termos decaem exponencialmente, a posição tende a zero:
boxedxss(t)=0

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