Verifique que as séries abaixo são convergentes.
;
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para verificar se ela é convergente. Informações relevantes que temos: o termo geral da série é
logo o módulo do termo é
A pergunta é: a série
converge? (Se possível, identificar se converge absolutamente.)
Passo 2
Vou usar um teste que serve justamente para séries cujos termos têm uma potência com índice
: o teste da raiz de Cauchy (ou teste da raiz). Vou enunciar e explicar o teste com calma.
Enunciado do teste da raiz:
- se
, a série converge absolutamente; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
O que significam os símbolos:
-
é o termo geral da série; -
é a raiz -ésima do módulo do termo; -
é o limite superior (aqui, como teremos um limite simples, podemos ler apenas como ).
Intuição curta e prática: se
tende para um número menor que
, então para
grande
fica menor que algum
, daí
para
grande e a série fica dominada por uma série geométrica que converge. É uma forma muito prática de comparar uma série com uma geométrica.
Passo 3
Agora aplicamos o teste à nossa série. Calculamos a raiz
-ésima do módulo do termo:
Temos então que avaliar o limite
Para calcular esse limite, divido numerador e denominador por
:
Como
quando
, segue que
Passo 4
Achamos que
Como
, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.
Para tornar isso totalmente claro e construtivo (como se fosse na prova): escolha um número
tal que
. Como
, existe
tal que para todo
vale
. Então para
temos
. A série
é geométrica e converge (porque
), logo
converge também. Isso é a definição de convergência absoluta. Convergência absoluta implica convergência da série original
.
Passo 5
Conclusão final: a série dada converge absolutamente, portanto converge.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).