Verifique que as séries abaixo são convergentes.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-n}{3 n+1}\right)^{n};

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-n}{3 n+1}\right)^{n}
e pede para verificar se ela é convergente. Informações relevantes que temos: o termo geral da série é
a_n=\left(\frac{-n}{3 n+1}\right)^{n},
logo o módulo do termo é
|a_n|=\left(\frac{n}{3n+1}\right)^{n}.
A pergunta é: a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge? (Se possível, identificar se converge absolutamente.)

Passo 2

Vou usar um teste que serve justamente para séries cujos termos têm uma potência com índice n: o teste da raiz de Cauchy (ou teste da raiz). Vou enunciar e explicar o teste com calma.
Enunciado do teste da raiz:
\text{Se }L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\quad\text{então}ã
  • se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
O que significam os símbolos:
  • a_n é o termo geral da série;
  • \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima do módulo do termo;
  • \limsup é o limite superior (aqui, como teremos um limite simples, podemos ler apenas como \lim).
Intuição curta e prática: se \sqrt[n]{|a_n|} tende para um número menor que 1, então para n grande \sqrt[n]{|a_n|} fica menor que algum q<1, daí |a_n|\le q^n para n grande e a série fica dominada por uma série geométrica que converge. É uma forma muito prática de comparar uma série com uma geométrica.

Passo 3

Agora aplicamos o teste à nossa série. Calculamos a raiz n-ésima do módulo do termo:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3n+1}\right)^{n}}=\frac{n}{3n+1}.
Temos então que avaliar o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n+1}.
Para calcular esse limite, divido numerador e denominador por n:
\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{3+\frac{1}{n}}.
Como \frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Achamos que
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{3}.
Como L=\tfrac{1}{3}<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.
Para tornar isso totalmente claro e construtivo (como se fosse na prova): escolha um número q tal que \tfrac{1}{3}<q<1. Como \sqrt[n]{|a_n|}\to\tfrac{1}{3}, existe N tal que para todo n\ge N vale \sqrt[n]{|a_n|}\le q. Então para n\ge N temos |a_n|\le q^n. A série \sum_{n=N}^{\infty}q^n é geométrica e converge (porque q<1), logo \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| converge também. Isso é a definição de convergência absoluta. Convergência absoluta implica convergência da série original \sum a_n.

Passo 5

Conclusão final: a série dada converge absolutamente, portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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