Aproxime a soma das séries
pela soma parcial
e estime o erro.
Passo 1
O enunciado pede que eu aproxime as somas das duas séries dadas pela soma parcial
(isto é, somando os primeiros quatro termos de cada série) e que eu estime o erro dessa aproximação.
As duas séries são:
As duas séries são:
Informações relevantes do enunciado:
- •Para cada série devo calcular
(onde é o termo geral da série) e fornecer uma estimativa do erro . - •Ambas as séries são alternadas (sinais
ou ), então a estimativa de erro pode usar o Teorema de Leibniz para séries alternadas (quando aplicável).
Passo 2
Analisando a série (I):
Vou verificar as hipóteses do Teorema de Leibniz (critério de alternância):
- Os sinais são alternados por causa de
. -
quando , porque cresce exponencialmente e domina . -
é monótono decrescente: calculo a razão
Logo
é decrescente. Portanto posso aplicar o Teorema de Leibniz: o erro absoluto ao truncar após
satisfaz
Agora calculo
(somando os quatro primeiros termos):
Somando:
Colocando em denominador comum
:
O primeiro termo omitido (o de
) tem magnitude
Pelo Teorema de Leibniz:
porque o termo de índice
é positivo (sinais:
), então o resto é positivo e menor que
. Assim a soma verdadeira
da série (I) satisfaz
Comentário prático (útil para a prova): esta série é a série de Taylor de
com
, pois
Tomando
obtemos a soma exata
e vemos que a diferença real
está dentro da cota
.
Passo 3
Agora a série (II):
Verifico as hipóteses do Teorema de Leibniz:
- Os sinais são alternados por
. -
pois cresce muito rápido. - Mostro que
é decrescente (a partir de ): uso uma manipulação útil:
Isto vale porque
e
. Assim
que claramente diminui quando
aumenta. Logo o Teorema de Leibniz vale e
Calculo os quatro primeiros termos:
Somando:
Colocando em denominador comum
:
O primeiro termo omitido é (para
):
Pelo Teorema de Leibniz, como o termo de índice
tem sinal negativo (já que
), o resto
satisfaz
isto é, a soma verdadeira
da série (II) satisfaz
Além disso podemos obter uma forma fechada desta série: usando a identidade já vista,
temos
Portanto o valor exato é
, e a diferença
está dentro da cota
.
Passo 4
Resumo das aproximações e das cotas de erro (formas exatas e valores numéricos úteis para a prova):