Em cada item, escreva as integrais iteradas nas duas ordens de integração e calcule-as (você pode escolher a ordem mais fácil para calcular).
(a)
integral duplaR x d A, em que R é a região limitada pelas retas y=x, y=0 e x=1.
(b)
integral duplaR y^2 e^x y d A, em que R é a região limitada pelas retas y=x, y=4 e x=0.

Passo 1

O enunciado pede duas integrais duplas escritas nas duas ordens de integração e seus valores:
  1. integral duplaR x,dA em que R é o triângulo limitado por y=x, y=0 e x=1.
  2. integral duplaR y^2e^xy,dA em que R é o triângulo limitado por y=x, y=4 e x=0.
    O conteúdo principal é montagem de integrais iteradas em ambas as ordens e escolha da ordem mais fácil para o cálculo.

Passo 2

Para (a), a região R é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1).
Ordem d y,d x:
xin[0,1], yin[0,x],
logo
integral duplaR x,dA=integralx=0^1integraly=0^xx,dy,dx
Ordem d x,d y:
yin[0,1], xin[y,1],
logo
integral duplaR x,dA=integraly=0^1integralx=y^1x,dx,dy

Passo 3

Calculando em ordem d y,d x:
integral0^1l[integral0^xx,dyr]dx =integral0^1l[x,yr]y=0^y=xdx =integral0^1x^2dx =l[tfracx^33r]0^1 =tfrac13

Passo 4

Para (b), a região R é o triângulo com vértices (0,0),(0,4),(4,4).
Ordem d x,d y:
yin[0,4], xin[0,y],
logo
integral duplaRy^2e^xy,dA =integraly=0^4integralx=0^yy^2e^xy,dx,dy
Ordem d y,d x:
xin[0,4], yin[x,4],
logo
integral duplaRy^2e^xy,dA =integralx=0^4integraly=x^4y^2e^xy,dy,dx

Passo 5

Escolhemos ordem d x,d y. Primeiro integrais internas em x:
integral0^yy^2e^xy,dx =y^2l[e^xyyr]x=0^x=y =yl(e^y^2-1r)
Agora
integral0^4yl(e^y^2-1r)dy =integral0^4y,e^y^2dy -integral0^4y,dy
Para a primeira, use u=y^2, du=2y,dy:
integral0^4y,e^y^2dy =tfrac12integral0^16e^udu =tfrac12l(e^16-1r)
Para a segunda:
integral0^4y,dy =l[tfracy^22r]0^4 =8
Somando:
tfrac12l(e^16-1r)-8 =tfrace^162-tfrac12-8 =tfrace^162-tfrac172

Resposta

(a) 13
(b) e^162-172

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