Teste para convergência
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right).
Informações dadas:
\displaystyle \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) é o n-ésimo termo da série.
A pergunta é: essa soma infinita converge (tem soma finita) ou diverge?

Passo 2

Definimos as somas parciais para estudar convergência. Seja
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right).
Se o limite \displaystyle \lim_{N\to\infty}S_{N} existe e é finito, a série converge; caso contrário, diverge. Agora vamos manipular S_{N}.

Passo 3

Usamos a propriedade básica do logaritmo: para quaisquer a>0 e b>0 vale
\ln(ab)=\ln a+\ln b.
Isto permite transformar soma de logaritmos em logaritmo do produto. Aplicando ao caso,
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln\left(\prod_{n=1}^{N}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right).
Aqui usei diretamente a propriedade \ln do produto para juntar todos os termos em um único logaritmo.

Passo 4

Simplificamos o produto dentro do logaritmo. Observe que
1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n},
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\prod_{n=1}^{N}\left(1+\frac{1}{n}\right)=\prod_{n=1}^{N}\frac{n+1}{n}.
Escrevendo os primeiros fatores para ver o padrão:
\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{N+1}{N}.
Agora notamos que muitos termos se cancelam: o 2 do numerador do primeiro fator cancela com o 2 do denominador do segundo, o 3 do numerador do segundo cancela com o 3 do denominador do terceiro, e assim por diante. Após as cancelamentos sobra apenas
\prod_{n=1}^{N}\frac{n+1}{n}= \frac{N+1}{1}=N+1.

Passo 5

Substituindo no logaritmo obtemos uma expressão simples para a soma parcial:
S_{N}=\ln\left(\prod_{n=1}^{N}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=\ln(N+1).
Agora estudamos o limite quando N\to\infty. Sabemos que a função logaritmo natural é crescente e
\lim_{N\to\infty}\ln(N+1)=+\infty.
Portanto as somas parciais S_{N} crescem sem limite e não convergem para um número finito.

Passo 6

Conclusão do teste de convergência: como as somas parciais divergem para +\infty, a série original diverge (diverge positivamente). Em termos práticos, a soma dos termos não se estabiliza num valor finito.

Resposta

A série diverge (diverge para +\infty).

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