Teste para convergência
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Informações dadas:
é o
-ésimo termo da série.
A pergunta é: essa soma infinita converge (tem soma finita) ou diverge?
A pergunta é: essa soma infinita converge (tem soma finita) ou diverge?
Passo 2
Definimos as somas parciais para estudar convergência. Seja
Se o limite
existe e é finito, a série converge; caso contrário, diverge. Agora vamos manipular
.
Passo 3
Usamos a propriedade básica do logaritmo: para quaisquer
e
vale
Isto permite transformar soma de logaritmos em logaritmo do produto. Aplicando ao caso,
Aqui usei diretamente a propriedade
do produto para juntar todos os termos em um único logaritmo.
Passo 4
Simplificamos o produto dentro do logaritmo. Observe que
logo
Escrevendo os primeiros fatores para ver o padrão:
Agora notamos que muitos termos se cancelam: o
do numerador do primeiro fator cancela com o
do denominador do segundo, o
do numerador do segundo cancela com o
do denominador do terceiro, e assim por diante. Após as cancelamentos sobra apenas
Passo 5
Substituindo no logaritmo obtemos uma expressão simples para a soma parcial:
Agora estudamos o limite quando
. Sabemos que a função logaritmo natural é crescente e
Portanto as somas parciais
crescem sem limite e não convergem para um número finito.
Passo 6
Conclusão do teste de convergência: como as somas parciais divergem para
, a série original diverge (diverge positivamente). Em termos práticos, a soma dos termos não se estabiliza num valor finito.
Resposta
A série diverge (diverge para
).