Questão 4. Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que s convergentes.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se cada integral é convergente ou divergente e calcular as que forem convergentes.
Informações dadas no enunciado recebido por mim: nenhuma integral específica foi fornecida — o enunciado não contém as expressões das integrais a serem analisadas.
Passo 2
Por causa do que está faltando (as integrais não foram informadas), não há como responder às perguntas numéricas pedidas: não posso decidir convergência nem calcular integrais que eu não sei quais são. Vou, então, nesta resolução, explicar de forma didática e passo a passo os procedimentos e testes que você deve aplicar em qualquer questão deste tipo. Assim, quando você tiver as integrais (ou colar aqui), conseguirá aplicar o método direto e rápido na prova. Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria e como formalizar a ideia de convergência.
Passo 3
O que é uma integral imprópria e como definimos convergência.
Existem basicamente dois tipos de integral imprópria:
Intervalo infinito, por exemplo integrando em (a,\infty) ou (-\infty,b) ou (-\infty,\infty).
Integrando num intervalo finito onde a função tem singularidade (diverge) em algum ponto do intervalo, por exemplo em [a,b] quando f tem descontinuidade em c\in[a,b] (por exemplo f(x)=1/(x-c) em c).
Definição prática: transformar a integral imprópria num limite de integrais próprias. Exemplos de definições:\int_{a}^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{R\to\infty}\int_{a}^{R} f(x)\,dx,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx\quad\text{com singularidade em }c\in(a,b)\;:=\;\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\left(\int_{a}^{c-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{c+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx\right).
Dizemos que a integral imprópria é convergente se esses limites existem (e são finitos). Caso contrário, dizemos que é divergente.
Passo 4
Teste mais básico e frequentemente usado: integral-p (p-integral). Este é o primeiro amigo que você chama na prova quando vê potências de x\).
- Para a integral no infinito:
\[\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx
ela converge se, e somente se, p>1. Cálculo rápido:
Quando p>1\] a potência \[R^{1-p}\to0 e o limite é finito; quando p\le1 o limite é infinito.
Para a integral em torno de 0:\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}}\,dxela converge se, e somente se, p<1. Cálculo:\int_{\varepsilon}^{1} x^{-p}\,dx= \begin{cases} \dfrac{1-\varepsilon^{1-p}}{1-p}, & p\neq1,\\[6pt] -\ln\varepsilon, & p=1. \end{cases}Quando \varepsilon\to0^+\], \(\varepsilon^{1-p}\to0 apenas se 1-p>0, ou seja p<1.]
Passo 5
Teste de comparação direta — quando e como usar.
Ideia: se 0\le f(x)\le g(x) para x grande (ou perto da singularidade), então:
Se \int g converge, então \int f também converge.
Se \int f diverge, então \int g também diverge.
Estratégia prática para escolher g: comparar o comportamento assintótico da sua função com uma função simples que você conhece (normalmente uma potência 1/x^{p}, exponencial e^{-x} ou função logarítmica). Exemplos:
Se f(x)\sim C/x^{p} quando x\to\infty, use a p-integral com esse p.
Se f(x) tem fator exponencial do tipo e^{-ax} com a>0, isso tipicamente força convergência.
Passo 6
Teste de comparação limite (limit comparison) — muito útil na prova.
Se f,g\ge0 e \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=L com 0<L<\infty, então f e g têm o mesmo comportamento de convergência: ambos convergem ou ambos divergem.
Isso evita ter que encontrar constantes para comparação direta e é bastante prático.
Passo 7
Convergência absoluta vs. condicional. Por que é importante?
Uma integral impropria \int f converge absolutamente se \int |f| converge. Convergência absoluta implica convergência (mas não o contrário).
Em problemas com funções oscilatórias (por exemplo senos ou cossenos multiplicados por decaimento lento), às vezes \int f converge condicionalmente (não absolutamente), e aí precisamos de testes específicos (como o teste de Dirichlet ou de Abel para integrais).
Passo 8
Teste de Dirichlet (útil em integrais com fator oscilatório). Resumo prático:
Se F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt é limitada (isto é, existe M com |F(x)|\le M para todo x) e g(x) é monotônica com g(x)\to0 quando x\to\infty, então\int_{a}^{\infty} f(x)g(x)\,dxconverge.
Exemplo clássico: \int_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx converge (por Dirichlet), mas \int_{1}^{\infty}\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx diverge (logo é condicional).
Passo 9
Como calcular uma integral convergente na prática (passos operacionais que você pode repetir na prova):
Identifique o(s) ponto(s) problemáticos: extremos infinitos e/ou pontos onde f não é limitada.
Transforme a integral em limites de integrais próprias (como em Passo 3).
Tente avaliar o limite explicitamente se possível (integrar simbolicamente e passar o limite).
Se a integral não der expressão simples, use testes de comparação ou limite de comparação com funções conhecidas (1/x^{p}, e^{-x}, etc.).
Para funções oscilatórias, pense em Dirichlet ou Abel.
Verifique convergência absoluta com \int |f| se for relevante.
Exemplo ilustrativo (para você ver o desenvolvimento completo): calcular
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Passo 1: é uma integral em intervalo infinito.
Passo 2: escrevemos como limite:\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Passo 4: avaliar o limite:\lim_{R\to\infty}\left(-\frac{1}{R}+\frac{1}{1}\right)=0+1=1.
Logo a integral converge e vale 1.
Passo 10
Resumo prático rápido (checklist para a prova):
Se você vê 1/x^{p}: aplique o teste p.
Se a função tem fator exponencial decaindo: a integral tende a convergir.
Se a função tem singularidade tipo 1/(x-c)^{p} perto de c: compare com x^{-p} localmente.
Para oscilações: pense em Dirichlet/Abel.
Use comparação limite quando for difícil escolher constantes.
Se precisar do valor numérico, sempre calcule a primitiva (quando existir) e faça o limite; se não der primitiva simples, tente substituições ou séries.
Resposta
Não é possível determinar: o enunciado não fornece as integrais a serem analisadas.