Questão 4. Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que s convergentes.

Passo 1

O enunciado pede: determinar se cada integral é convergente ou divergente e calcular as que forem convergentes.
Informações dadas no enunciado recebido por mim: nenhuma integral específica foi fornecida — o enunciado não contém as expressões das integrais a serem analisadas.

Passo 2

Por causa do que está faltando (as integrais não foram informadas), não há como responder às perguntas numéricas pedidas: não posso decidir convergência nem calcular integrais que eu não sei quais são. Vou, então, nesta resolução, explicar de forma didática e passo a passo os procedimentos e testes que você deve aplicar em qualquer questão deste tipo. Assim, quando você tiver as integrais (ou colar aqui), conseguirá aplicar o método direto e rápido na prova. Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria e como formalizar a ideia de convergência.

Passo 3

O que é uma integral imprópria e como definimos convergência.
  • Existem basicamente dois tipos de integral imprópria:
    1. Intervalo infinito, por exemplo integrando em (a,\infty) ou (-\infty,b) ou (-\infty,\infty).
    2. Integrando num intervalo finito onde a função tem singularidade (diverge) em algum ponto do intervalo, por exemplo em [a,b] quando f tem descontinuidade em c\in[a,b] (por exemplo f(x)=1/(x-c) em c).
  • Definição prática: transformar a integral imprópria num limite de integrais próprias. Exemplos de definições: \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{R\to\infty}\int_{a}^{R} f(x)\,dx,
\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx := \lim_{R\to-\infty}\int_{R}^{b} f(x)\,dx,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx\quad\text{com singularidade em }c\in(a,b)\;:=\;\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\left(\int_{a}^{c-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{c+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx\right).
  • Dizemos que a integral imprópria é convergente se esses limites existem (e são finitos). Caso contrário, dizemos que é divergente.

Passo 4

Teste mais básico e frequentemente usado: integral-p (p-integral). Este é o primeiro amigo que você chama na prova quando vê potências de x\). - Para a integral no infinito: \[\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx
ela converge se, e somente se, p>1. Cálculo rápido:
\int_{1}^{R} x^{-p}\,dx= \begin{cases} \dfrac{R^{1-p}-1}{1-p}, & p\neq1,\\[6pt] \ln R, & p=1. \end{cases}
Quando p>1\] a potência \[R^{1-p}\to0 e o limite é finito; quando p\le1 o limite é infinito.
  • Para a integral em torno de 0: \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}}\,dxela converge se, e somente se, p<1. Cálculo: \int_{\varepsilon}^{1} x^{-p}\,dx= \begin{cases} \dfrac{1-\varepsilon^{1-p}}{1-p}, & p\neq1,\\[6pt] -\ln\varepsilon, & p=1. \end{cases}Quando \varepsilon\to0^+\], \(\varepsilon^{1-p}\to0 apenas se 1-p>0, ou seja p<1.]

Passo 5

Teste de comparação direta — quando e como usar.
  • Ideia: se 0\le f(x)\le g(x) para x grande (ou perto da singularidade), então:
    • Se \int g converge, então \int f também converge.
    • Se \int f diverge, então \int g também diverge.
  • Estratégia prática para escolher g: comparar o comportamento assintótico da sua função com uma função simples que você conhece (normalmente uma potência 1/x^{p}, exponencial e^{-x} ou função logarítmica). Exemplos:
    • Se f(x)\sim C/x^{p} quando x\to\infty, use a p-integral com esse p.
    • Se f(x) tem fator exponencial do tipo e^{-ax} com a>0, isso tipicamente força convergência.

Passo 6

Teste de comparação limite (limit comparison) — muito útil na prova.
  • Se f,g\ge0 e \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=L com 0<L<\infty, então f e g têm o mesmo comportamento de convergência: ambos convergem ou ambos divergem.
  • Isso evita ter que encontrar constantes para comparação direta e é bastante prático.

Passo 7

Convergência absoluta vs. condicional. Por que é importante?
  • Uma integral impropria \int f converge absolutamente se \int |f| converge. Convergência absoluta implica convergência (mas não o contrário).
  • Em problemas com funções oscilatórias (por exemplo senos ou cossenos multiplicados por decaimento lento), às vezes \int f converge condicionalmente (não absolutamente), e aí precisamos de testes específicos (como o teste de Dirichlet ou de Abel para integrais).

Passo 8

Teste de Dirichlet (útil em integrais com fator oscilatório). Resumo prático:
  • Se F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt é limitada (isto é, existe M com |F(x)|\le M para todo x) e g(x) é monotônica com g(x)\to0 quando x\to\infty, então \int_{a}^{\infty} f(x)g(x)\,dxconverge.
  • Exemplo clássico: \int_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx converge (por Dirichlet), mas \int_{1}^{\infty}\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx diverge (logo é condicional).

Passo 9

Como calcular uma integral convergente na prática (passos operacionais que você pode repetir na prova):
  1. Identifique o(s) ponto(s) problemáticos: extremos infinitos e/ou pontos onde f não é limitada.
  2. Transforme a integral em limites de integrais próprias (como em Passo 3).
  3. Tente avaliar o limite explicitamente se possível (integrar simbolicamente e passar o limite).
  4. Se a integral não der expressão simples, use testes de comparação ou limite de comparação com funções conhecidas ( 1/x^{p}, e^{-x}, etc.).
  5. Para funções oscilatórias, pense em Dirichlet ou Abel.
  6. Verifique convergência absoluta com \int |f| se for relevante.
Exemplo ilustrativo (para você ver o desenvolvimento completo): calcular
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
  • Passo 1: é uma integral em intervalo infinito.
  • Passo 2: escrevemos como limite: \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
  • Passo 3: integramos: \int \frac{1}{x^{2}}\,dx=\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C.
  • Passo 4: avaliar o limite: \lim_{R\to\infty}\left(-\frac{1}{R}+\frac{1}{1}\right)=0+1=1.
Logo a integral converge e vale 1.

Passo 10

Resumo prático rápido (checklist para a prova):
  • Se você vê 1/x^{p}: aplique o teste p.
  • Se a função tem fator exponencial decaindo: a integral tende a convergir.
  • Se a função tem singularidade tipo 1/(x-c)^{p} perto de c: compare com x^{-p} localmente.
  • Para oscilações: pense em Dirichlet/Abel.
  • Use comparação limite quando for difícil escolher constantes.
  • Se precisar do valor numérico, sempre calcule a primitiva (quando existir) e faça o limite; se não der primitiva simples, tente substituições ou séries.

Resposta

Não é possível determinar: o enunciado não fornece as integrais a serem analisadas.

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