O teste da derivada de segunda ordem permite encontrar se um ponto crítico avaliado é ponto de máximo ou mínimo local de uma função. Dessa forma, seja a função contínua f(x) = x^4/4 - x^3 - x^2/2 + 3x, definida no conjunto dos reais. Calcule, se existir, o(s) ponto(s) de máximo de f(x) e assinale a alternativa que o(s) representa. Escolha uma:
a. F(x) não possui ponto de máximo local
b. O ponto de máximo será em x=1
c. Os pontos de máximo serão em x=-1 e x=1
d. Os pontos de máximo serão em x=-1 e x=3
e. O ponto de máximo será em x=-1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema fala sobre cálculo de derivadas, especificamente usando o teste da derivada de segunda ordem para encontrar pontos de máximo local de uma função. A função que a gente tem é $ f(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 - \frac{x^2}{2} + 3x $. Nosso objetivo é descobrir se existe algum ponto onde essa função atinge um máximo local e identificar em qual(is) ponto(s) isso acontece.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos críticos da função $ f(x) $, precisamos calcular a primeira derivada $ f’(x) $ e igualá-la a zero. Os pontos críticos são onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Vamos derivar $ f(x) $:
f(x)

Passo 3

Agora, igualamos $ f’(x) $ a zero para encontrar os valores de $ x $ que são candidatos a máximos ou mínimos:
f'(x)
Vamos resolver essa equação cúbica. Uma boa estratégia é tentar encontrar raízes racionais. Testando $ x = 1 $:
x
Então, $ x = 1 $ é uma raiz. Agora, fatoramos a equação:
x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0
Resolvendo $ x^2 - 2x - 3 = 0 $:
x = 1
Portanto, as soluções são $ x = 3 $ e $ x = -1 $.
Então, os pontos críticos são $ x = -1 $, $ x = 1 $ e $ x = 3 $.

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos usar a segunda derivada para determinar se cada ponto é um máximo ou um mínimo local. Calculamos a segunda derivada $ f’’(x) $:
f''(x)

Passo 5

Vamos avaliar $ f’’(x) $ em cada ponto crítico:
  1. Em $ x = -1 $:
f''(x)
Como $ f’’(-1) > 0 $, isso indica que $ x = -1 $ é um mínimo local.
  1. Em $ x = 1 $:
x = -1
Como $ f’’(1) < 0 $, isso indica que $ x = 1 $ é um máximo local.
  1. Em $ x = 3 $:
f''(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8 > 0
Como $ f’’(3) > 0 $, isso indica que $ x = 3 $ é um mínimo local.

Resposta

A função $ f(x) $ possui um ponto de máximo local em $ x = 1 $. Portanto, a alternativa correta é:
b. O ponto de máximo será em x=1

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