Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
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Passo 1
O enunciado pede para testar se a EDO
é exata, encontrar a solução geral e, usando a condição inicial
, achar a solução particular. Vamos usar o conceito de forma diferencial exata, escrevendo a EDO como
.
Passo 2
Reescrevemos a EDO multiplicando por
:
Aqui
e
.
Passo 3
Para testar exatidão calculamos:
Como
, a EDO é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
. Integramos em
:
Passo 5
Para determinar
, impomos
:
Logo
e
é constante.
Passo 6
A solução implícita geral vem de
:
Passo 7
Aplicando
temos
, logo
. Daí
Resposta
A solução geral é
e, com
, a solução particular é
.