Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
§ -sin (x y)[y+x d yd x]=0, y(1)=pi

Passo 1

O enunciado pede para testar se a EDO
-sin(xy)l[y + xdydxr]=0 é exata, encontrar a solução geral e, usando a condição inicial y(1)=pi, achar a solução particular. Vamos usar o conceito de forma diferencial exata, escrevendo a EDO como M(x,y),dx + N(x,y),dy=0.

Passo 2

Reescrevemos a EDO multiplicando por -1:
sin(xy),y;dx + sin(xy),x;dy = 0.
Aqui M(x,y)=sin(xy),y e N(x,y)=sin(xy),x.

Passo 3

Para testar exatidão calculamos:
partial Mpartial y=sin(xy) + xycos(xy)
partial Npartial x=sin(xy) + xycos(xy).
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a EDO é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que partialpsi/partial x=M. Integramos em x:
psi(x,y)=integral sin(xy),y,dx = -cos(xy) + h(y)

Passo 5

Para determinar h(y), impomos partialpsi/partial y=N:
partialpartial yl[-cos(xy)+h(y)r]=xsin(xy)+h'(y)=N= xsin(xy)
Logo h'(y)=0 e h é constante.

Passo 6

A solução implícita geral vem de psi(x,y)=C:
-cos(xy)=CLongrightarrow cos(xy)=C'

Passo 7

Aplicando y(1)=pi temos cos(1cdotpi)=cospi=-1, logo C'=-1. Daí
cos(xy)=-1 implica xy=pi+2kpi. Tomando a folha contínua ( k=0), obtemos a solução particular
y=pix

Resposta

A solução geral é cos(xy)=C e, com y(1)=pi, a solução particular é y=pix.

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