Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
(d)
(d)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
é um caso de EDO homogênea, pois o quociente
Passo 2
Fazendo a substituição defini-mos
pelo cálculo da derivada de um produto. A ideia é reescrever a EDO em termos de
Passo 3
Substituindo na equação original,
Cancelamos a parte
Passo 4
Isolando o termo com
:
$$x\frac{dv}{dx}=\frac{4+v2}{v}-v=\frac{4+v2-v^2}{v}=\frac{4}{v}.
$$
Agora a equação está separável em e
.
Agora a equação está separável em
Passo 5
Separamos variáveis e integramos:
Integramos os dois lados:
$$\int v,dv=\int4\frac{dx}{x}\quad\Longrightarrow\quad\frac{v^2}{2}=4\ln|x|+C_1.
$$
Passo 6
Voltando à variável original
, temos
. Logo,
$$\frac{y2}{x2}=2\bigl(4\ln|x|+C_1\bigr)=8\ln|x|+C_2,
$$
Passo 7
Checagem por substituição: derivando
obtemos
Como
, isso vira
$$y’=\frac{x((y2/x2)+4)}{y}=\frac{4x2+y2}{x,y},
$$
confirmando a solução.
confirmando a solução.
Passo 8
Portanto, a solução geral da EDO é dada por:
, com
constante arbitrária.