Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
(d) y^prime=(4 x^2+y^2) /(x y)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
y'=4x^2+y^2x,y
é um caso de EDO homogênea, pois o quociente (4x^2+y^2)/(x,y) depende de y/x. Vamos usar a substituição y=v,x para transformar em equação separável.

Passo 2

Fazendo a substituição defini-mos
y=v,xLongrightarrow y'=v+xdvdx,
pelo cálculo da derivada de um produto. A ideia é reescrever a EDO em termos de v e x.

Passo 3

Substituindo na equação original,
v+xdvdx=4x^2+(v x)^2x,(v x)=4x^2+v^2x^2v x^2=4+v^2v
Cancelamos a parte v comum para simplificar.

Passo 4

Isolando o termo com dv/dx:
$$x\frac{dv}{dx}=\frac{4+v2}{v}-v=\frac{4+v2-v^2}{v}=\frac{4}{v}.
$$
Agora a equação está separável em xdvdx=4+v^2v-v=4+v^2-v^2v=4v e v.

Passo 5

Separamos variáveis e integramos:
v,dv=4dxx
Integramos os dois lados:
$$\int v,dv=\int4\frac{dx}{x}\quad\Longrightarrow\quad\frac{v^2}{2}=4\ln|x|+C_1.
$$

Passo 6

Voltando à variável original y=v x, temos v=y/x. Logo,
$$\frac{y2}{x2}=2\bigl(4\ln|x|+C_1\bigr)=8\ln|x|+C_2,
y^2x^2=2l(4ln|x|+C1r)=8ln|x|+C2, y2=x2\bigl(8\ln|x|+C_2\bigr).
$$

Passo 7

Checagem por substituição: derivando y^2=x^2(8ln|x|+C2) obtemos
y'=12yddxl[y^2r]=12yl(2x(8ln|x|+C2)+8xr) =x(8ln|x|+C2+4)y
Como 8ln|x|+C2=y^2/x^2, isso vira
$$y’=\frac{x((y2/x2)+4)}{y}=\frac{4x2+y2}{x,y},
$$
confirmando a solução.

Passo 8

Portanto, a solução geral da EDO é dada por: y^2=x^2(8ln|x|+C), com C constante arbitrária.

Resposta

y^2=x^2l(8ln|x|+Cr)

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