Em um teste da eficácia do alho na dieta para a redução do colesterol, 46 pessoas foram avaliadas e seus níveis de colesterol foram medidos antes e depois do tratamento. As mudanças nos níveis de colesterol apresentaram média de 0,4 e desvio-padrão de 21.
Construa o intervalo com 95 % de confiança para a média populacional e escreva a interpretação do resultado. Em seguida, suponha que o sigma é conhecido com sigma=s (ou seja, usando a distribuição Z ). Compare os dois métodos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir. A gente tem um estudo com 46 pessoas, mediu a diferença no colesterol antes e depois de comer alho. O resultado traz uma média das mudanças igual a barx=0,4 e um desvio‐padrão amostral s=21. O objetivo é construir um intervalo de confiança de 95 % para a média verdadeira dessa mudança. Isso faz parte de Inferência Estatística, mais especificamente de estimativa de parâmetro (média) via intervalo de confiança. Para isso, precisamos saber usar:
  1. Distribuição t (quando sigma populacional é desconhecido).
  2. Distribuição Z (quando sigma populacional é conhecido).
A partir do próximo passo já começamos a resolver.

Passo 2

Intervalo de confiança usando t (caso mais realístico, sigma desconhecido):
  1. Gerar o erro‐padrão da média (SE):
SE = sraizn = 21raiz46approx 3,096
2. Graus de liberdade: df=n-1=45.
3. Valor crítico talpha/2,;45 para 95 % (ou seja, alpha=0,05) é, da tabela, cerca de t0,025,45approx 2,014.
4. Margem de erro:
E = t0,025,45times SE approx 2,014times 3,096 approx 6,235
  1. Intervalo de confiança:
bar x pm E = 0,4 pm 6,235 ;Longrightarrow; (-5,835,;6,635)

Passo 3

Interpretação: “Com 95 % de confiança, a verdadeira média de mudança no colesterol ao usar alho está entre –5,835 e 6,635. Como esse intervalo inclui zero, não podemos afirmar que houve redução significativa do colesterol.”

Passo 4

Intervalo de confiança usando Z (supondo sigma conhecido e igual a s=21):
  1. Erro‐padrão é o mesmo: SEZ=21/raiz46approx3,096.
  2. Valor crítico Z0,025=1,96.
  3. Margem de erro:
EZ = 1,96times3,096approx6,069
4. Intervalo:
0,4 pm 6,069 ;Longrightarrow; (-5,669,;6,469)

Passo 5

Comparação:
  • Usando t, o intervalo ficou (-5,835,;6,635).
  • Com Z, ficou (-5,669,;6,469).
    O intervalo t é ligeiramente mais largo porque o t leva em conta a incerteza extra de não conhecer sigma. Quando n é grande, as duas distribuições se aproximam e a diferença é pequena.

Resposta

Intervalo de confiança 95 % usando t: (-5,835,;6,635).
Intervalo de confiança 95 % usando Z: (-5,669,;6,469).
Ambos passam pelo zero, indicando que não dá para afirmar redução significativa; o método t é um pouquinho mais conservador (intervalo mais largo) que o Z.

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