Seja X sim N(mu, 36)
Para um nível de confiança de 95 %, construa intervalos de confiança (admita a mesma média amostral 18) supondo tamanhos de amostra:
Calcule as amplitudes dos intervalos acima e explique o comportamento dos intervalos ao variar o tamanho da amostra.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória
Xsim N(mu,36)
ou seja, distribuição normal com desvio padrão .
Queremos construir intervalos de confiança de 95 % para a média verdadeira , usando sempre a mesma média amostral , mas variando o tamanho . No final, a gente calcula a amplitude de cada intervalo e vê como ela muda quando cresce.
Conteúdo envolvido: intervalo de confiança para média com variância conhecida (distribuição normal), uso da quantil , e cálculo de amplitude.

Passo 2

Fórmula geral do intervalo de confiança para bar x pm z1-alpha/2,sigmaraiz n (quando 18 pm 1,96;6raiz n é conhecido) e nível de confiança :
Aqui , logo , e . Então o intervalo fica

Passo 3

Vamos escolher três tamanhos de amostra para ver o efeito:
  1. n = 4
  2. n = 25
  3. n = 100
Em cada caso a amplitude total do intervalo (largura) é
amplitude = 2;l(1,96,6raiz nr)
Calculemos:
  • Para amplitude4 = 2,(1,96),6raiz4 = 2cdot1,96cdot62 = 2cdot1,96cdot3 = 11,76 :
    amplitude25 = 2,(1,96),65 = 2cdot1,96cdot1,2 = 4,704
  • Para amplitude100 = 2,(1,96),610 = 2cdot1,96cdot0,6 = 2,352 :
  • Para :

Passo 4

Repara que conforme cresce, a amplitude do intervalo cai. Isso faz sentido porque diminui com , deixando a estimativa mais precisa. Em outras palavras, quanto maior a amostra, mais “apertado” fica o nosso intervalo de confiança.

Resposta

Intervalos de confiança de 95 % para :
  • n=4: amplitude = 11,76
  • n=25: amplitude = 4,704
  • n=100: amplitude = 2,352
Com o aumento de , a amplitude do intervalo diminui, tornando a estimativa de mais precisa.

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