Seja
Para um nível de confiança de
, construa intervalos de confiança (admita a mesma média amostral 18) supondo tamanhos de amostra:
Calcule as amplitudes dos intervalos acima e explique o comportamento dos intervalos ao variar o tamanho da amostra.
Para um nível de confiança de
Calcule as amplitudes dos intervalos acima e explique o comportamento dos intervalos ao variar o tamanho da amostra.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória
ou seja, distribuição normal com desvio padrão
.
Queremos construir intervalos de confiança de 95 % para a média verdadeira , usando sempre a mesma média amostral
, mas variando o tamanho
. No final, a gente calcula a amplitude de cada intervalo e vê como ela muda quando
cresce.
Queremos construir intervalos de confiança de 95 % para a média verdadeira
Conteúdo envolvido: intervalo de confiança para média com variância conhecida (distribuição normal), uso da quantil
, e cálculo de amplitude.
Passo 2
Fórmula geral do intervalo de confiança para
(quando
é conhecido) e nível de confiança
:
Aqui
, logo
,
e
. Então o intervalo fica
Passo 3
Vamos escolher três tamanhos de amostra para ver o efeito:
- n = 4
- n = 25
- n = 100
Em cada caso a amplitude total do intervalo (largura) é
Calculemos:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Repara que conforme
cresce, a amplitude do intervalo cai. Isso faz sentido porque
diminui com
, deixando a estimativa mais precisa. Em outras palavras, quanto maior a amostra, mais “apertado” fica o nosso intervalo de confiança.
Resposta
Intervalos de confiança de 95 % para
:
- n=4: amplitude = 11,76
- n=25: amplitude = 4,704
- n=100: amplitude = 2,352
Com o aumento de
, a amplitude do intervalo diminui, tornando a estimativa de
mais precisa.