teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
(x-y) d x+(x+y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede: testar se a equação diferencial
(x-y)\,dx+(x+y)\,dy=0
é exata e, caso seja exata, resolvê‑la.
Informações dadas e objeto de trabalho:
M(x,y)=x-y,\qquad N(x,y)=x+y,
onde a equação está na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
O que preciso fazer a seguir é verificar a condição de exatidão e, se ela for satisfeita, encontrar a função potencial \Psi(x,y) tal que d\Psi=M\,dx+N\,dy=0.

Passo 2

O que é a exatidão (explicação didática)?
Uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata em uma região quando existe uma função \Psi(x,y) (chamada potencial) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Psi}{\partial y}=N.
Uma condição prática e fácil de verificar é: se M e N têm derivadas parciais contínuas, então a equação é exata se, e somente se,
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui \partial M/\partial y significa derivar M tratando x como constante; e \partial N/\partial x significa derivar N tratando y como constante. Vou calcular essas derivadas para o nosso M e N.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
M(x,y)=x-y\implies \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1,
N(x,y)=x+y\implies \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1.
Expliquei passo a passo: ao derivar x-y em relação a y, x é constante e a derivada de -y é -1. Ao derivar x+y em relação a x, a derivada de x é 1 e de y (constante) é 0.

Passo 4

Compare as duas derivadas:
\frac{\partial M}{\partial y}=-1\quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como -1\neq 1, a condição de exatidão não é satisfeita. Conclusão: a equação diferencial dada NÃO é exata. Isso significa que não existe (na forma direta que se usa para exatas) uma função \Psi com \nabla\Psi=(M,N), e portanto não podemos obter a solução integrando diretamente como em equações exatas.

Passo 5

Observação prática (útil para a prova): quando a equação não é exata, outra possibilidade é procurar um fator integrante \mu(x) ou \mu(y) que torne a equação exata após multiplicação. Há testes rápidos:
\text{se }\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}\text{ depende apenas de }x\text{ então existe }\mu(x),ã
\text{se }\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}\text{ depende apenas de }y\text{ então existe }\mu(y).ã
No nosso caso
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=-2,
então
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{-2}{x+y}\quad\text{(depende de \(x\) e \(y\))},
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{2}{x-y}\quad\text{(depende de \(x\) e \(y\))}.
Portanto não existe fator integrante que dependa somente de x nem somente de y por esses testes simples. Pode existir um fator integrante mais complicado (função de combinação linear ou de ambos), mas isso já foge do teste direto de exatidão. Como o enunciado pediu para testar exatidão e resolver as que forem exatas, encerramos aqui.

Resposta

A equação diferencial não é exata, pois \dfrac{\partial M}{\partial y}=-1\neq \dfrac{\partial N}{\partial x}=1. Portanto não se resolve por método das equações exatas (sem fator integrante simples).

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