teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
(x-y) d x+(x+y) d y=0
(x-y) d x+(x+y) d y=0
Passo 1
O enunciado pede: testar se a equação diferencial
é exata e, caso seja exata, resolvê‑la.
Informações dadas e objeto de trabalho:
Informações dadas e objeto de trabalho:
onde a equação está na forma
O que preciso fazer a seguir é verificar a condição de exatidão e, se ela for satisfeita, encontrar a função potencial
tal que
.
Passo 2
O que é a exatidão (explicação didática)?
Uma equação é exata em uma região quando existe uma função
(chamada potencial) tal que
Uma equação
Uma condição prática e fácil de verificar é: se
e
têm derivadas parciais contínuas, então a equação é exata se, e somente se,
Aqui
significa derivar
tratando
como constante; e
significa derivar
tratando
como constante. Vou calcular essas derivadas para o nosso
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Expliquei passo a passo: ao derivar
em relação a
,
é constante e a derivada de
é
. Ao derivar
em relação a
, a derivada de
é
e de
(constante) é
.
Passo 4
Compare as duas derivadas:
Como
, a condição de exatidão não é satisfeita. Conclusão: a equação diferencial dada NÃO é exata. Isso significa que não existe (na forma direta que se usa para exatas) uma função
com
, e portanto não podemos obter a solução integrando diretamente como em equações exatas.
Passo 5
Observação prática (útil para a prova): quando a equação não é exata, outra possibilidade é procurar um fator integrante
ou
que torne a equação exata após multiplicação. Há testes rápidos:
No nosso caso
então
Portanto não existe fator integrante que dependa somente de
nem somente de
por esses testes simples. Pode existir um fator integrante mais complicado (função de combinação linear ou de ambos), mas isso já foge do teste direto de exatidão. Como o enunciado pediu para testar exatidão e resolver as que forem exatas, encerramos aqui.
Resposta
A equação diferencial não é exata, pois
. Portanto não se resolve por método das equações exatas (sem fator integrante simples).