teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
y d x+x d y=0
y d x+x d y=0
Passo 1
O enunciado pede que a gente teste se a equação diferencial
é exata e, se for exata, que a resolvamos. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
O que significa “ser exata” (aqui vai uma mini-aula didática): dizemos que a forma diferencial
é exata em uma região se existe uma função
tal que
Um critério prático (fácil de aplicar na prova) é checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais:
Aqui,
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo” e
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo”.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais pedidas (mostrando o raciocínio):
porque a derivada de
em relação a
é
.
porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Como
o critério de exatidão é satisfeito. Portanto a equação é exata em qualquer região onde
e
são contínuas (aqui são polinômios, então tudo ok). Agora vamos resolver encontrando a função potencial
.
Passo 5
Método para resolver (passo a passo e explicando a lógica):
- Partimos da condição
. Integramos essa igualdade em relação a , tratando como constante:
onde
é a “constante” de integração que pode depender de
(explicação: ao integrar em
podemos perder termos que dependem só de
, por isso incluímos
).
- Diferenciamos
em relação a e igualamos a :
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Então
Integramos
para obter
, constante.
Passo 6
Substituindo de volta:
A solução geral implícita da equação exata é
. Podemos então escrever a família de soluções como
onde
é uma constante arbitrária (absorvemos sinais e constantes em uma só constante). Se for preciso dar uma forma explícita para
,
Passo 7
Verificação rápida (boa prática na prova): derivando implicitamente
obtemos
que é exatamente a equação original — portanto está correto.