teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
y d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente teste se a equação diferencial
y\,dx + x\,dy = 0
é exata e, se for exata, que a resolvamos. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
M(x,y)=y\quad\text{(coeficiente de }dx\text{)}
N(x,y)=x\quad\text{(coeficiente de }dy\text{)}

Passo 2

O que significa “ser exata” (aqui vai uma mini-aula didática): dizemos que a forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata em uma região se existe uma função \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).
Um critério prático (fácil de aplicar na prova) é checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui, \frac{\partial M}{\partial y} significa “derivar M em relação a y mantendo x fixo” e \frac{\partial N}{\partial x} significa “derivar N em relação a x mantendo y fixo”.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais pedidas (mostrando o raciocínio):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(y)=1,
porque a derivada de y em relação a y é 1.
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x)=1,
porque a derivada de x em relação a x é 1.

Passo 4

Como
\frac{\partial M}{\partial y}=1=\frac{\partial N}{\partial x},
o critério de exatidão é satisfeito. Portanto a equação é exata em qualquer região onde M e N são contínuas (aqui são polinômios, então tudo ok). Agora vamos resolver encontrando a função potencial \Psi(x,y).

Passo 5

Método para resolver (passo a passo e explicando a lógica):
  1. Partimos da condição \frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y)=y. Integramos essa igualdade em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y)=\int y\,dx = xy + h(y),
onde h(y) é a “constante” de integração que pode depender de y (explicação: ao integrar em x podemos perder termos que dependem só de y, por isso incluímos h(y)).
  1. Diferenciamos \Psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\bigl(xy + h(y)\bigr)=x + h'(y).
Mas sabemos que \frac{\partial \Psi}{\partial y} deve ser igual a N(x,y)=x. Então
x + h'(y)=x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Integramos h'(y)=0 para obter h(y)=C, constante.

Passo 6

Substituindo de volta:
\Psi(x,y)=xy + C.
A solução geral implícita da equação exata é \Psi(x,y)=\text{constante}. Podemos então escrever a família de soluções como
xy = C_1,
onde C_1 é uma constante arbitrária (absorvemos sinais e constantes em uma só constante). Se for preciso dar uma forma explícita para y,
y=\frac{C_1}{x},\quad x\neq 0.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática na prova): derivando implicitamente xy=C_1 obtemos
x\,dy + y\,dx = 0,
que é exatamente a equação original — portanto está correto.

Resposta

xy=C\n y=\dfrac{C}{x},\;x\neq 0

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