teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
(y+2 x y^{3}) d x+(1+3 x^{2} y^{2}+x) d y=0
(y+2 x y^{3}) d x+(1+3 x^{2} y^{2}+x) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial no formato
As perguntas implícitas são:
- Testar se a equação é exata.
- Se for exata, resolver (ou seja, encontrar a solução geral implícita).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
O que significa testar exatidão (passo-a-passo didático)?
- Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial tal que
- Uma condição prática e fácil de checar (em domínios onde
e são de classe ) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Vou calcular essas derivadas parciais; atenção: ao derivar
em relação a
trata-se
como constante, e ao derivar
em relação a
trata-se
como constante.
Calculemos
. Como
:
-
. -
(pois é constante aqui).
Logo
Passo 3
Agora calculemos
. Como
:
-
. -
(pois é constante aqui). -
.
Somando,
Passo 4
Comparei as duas derivadas parciais e obtenho
Como são iguais, a equação é exata. Boa notícia! Agora vamos resolver encontrando uma função potencial
tal que
e
.
Passo 5
Como
, integramos em relação a
, tratando
como constante:
Calcule a integral termo a termo:
-
(pois é constante na integração em ). -
.
Portanto
onde
é uma “constante” de integração que pode depender somente de
(porque ao integrar em
podemos perder termos que dependem só de
).
Passo 6
Para determinar
usamos a segunda condição
. Calcule
a partir da expressão encontrada:
Mas sabemos que isso deve ser igual a
. Igualando:
Cancelemos os termos iguais em ambos os lados (
e
), sobra:
Integrando em
,
onde
é constante. Podemos absorver
na constante final da solução.
Passo 7
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa (sem a constante global):
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
ou seja
onde
é constante arbitrária.
Passo 8
(Verificação rápida — opcional mas instrutiva)
Se derivarmos implicitamente , obtemos
Se derivarmos implicitamente
isto é
que é exatamente a equação original. Portanto está consistente.
Resposta
A equação é exata.