teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
(y+2 x y^{3}) d x+(1+3 x^{2} y^{2}+x) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial no formato
(y+2xy^{3})\,dx + (1+3x^{2}y^{2}+x)\,dy = 0
As perguntas implícitas são:
  1. Testar se a equação é exata.
  2. Se for exata, resolver (ou seja, encontrar a solução geral implícita).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(x,y)=y+2xy^{3}
N(x,y)=1+3x^{2}y^{2}+x

Passo 2

O que significa testar exatidão (passo-a-passo didático)?
  • Uma equação diferencial na forma \,M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
  • Uma condição prática e fácil de checar (em domínios onde M e N são de classe C^1) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou calcular essas derivadas parciais; atenção: ao derivar M em relação a y trata-se x como constante, e ao derivar N em relação a x trata-se y como constante.
Calculemos \dfrac{\partial M}{\partial y}. Como M(x,y)=y+2xy^{3}:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(y\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(2x y^{3}\big).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y)=1.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2x y^{3}) = 2x \cdot 3y^{2} = 6x y^{2} (pois x é constante aqui).
Logo
\frac{\partial M}{\partial y}=1+6x y^{2}.

Passo 3

Agora calculemos \dfrac{\partial N}{\partial x}. Como N(x,y)=1+3x^{2}y^{2}+x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(1) + \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(x).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(1)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{2}) = 3\cdot 2x \cdot y^{2} = 6x y^{2} (pois y é constante aqui).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Somando,
\frac{\partial N}{\partial x}=6x y^{2} + 1.

Passo 4

Comparei as duas derivadas parciais e obtenho
\frac{\partial M}{\partial y}=1+6x y^{2} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}=1+6x y^{2}.
Como são iguais, a equação é exata. Boa notícia! Agora vamos resolver encontrando uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x = M e \partial \Phi/\partial y = N.

Passo 5

Como \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=y+2x y^{3}, integramos em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int \big(y+2x y^{3}\big)\,dx.
Calcule a integral termo a termo:
  • \int y\,dx = y\cdot x (pois y é constante na integração em x).
  • \int 2x y^{3}\,dx = 2y^{3}\int x\,dx = 2y^{3}\cdot \frac{x^{2}}{2} = y^{3}x^{2}.
Portanto
\Phi(x,y)=x y + x^{2} y^{3} + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender somente de y (porque ao integrar em x podemos perder termos que dependem só de y).

Passo 6

Para determinar h(y) usamos a segunda condição \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y). Calcule \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x y + x^{2} y^{3} + h(y)\big) = x + 3x^{2} y^{2} + h'(y).
Mas sabemos que isso deve ser igual a N(x,y)=1+3x^{2}y^{2}+x. Igualando:
x + 3x^{2} y^{2} + h'(y) = 1 + 3x^{2} y^{2} + x.
Cancelemos os termos iguais em ambos os lados ( x e 3x^{2}y^{2}), sobra:
h'(y) = 1.
Integrando em y,
h(y)=y + C_{0},
onde C_{0} é constante. Podemos absorver C_{0} na constante final da solução.

Passo 7

Substituindo h(y) em \Phi, obtemos a função potencial completa (sem a constante global):
\Phi(x,y)=x y + x^{2} y^{3} + y.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
x y + x^{2} y^{3} + y = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

(Verificação rápida — opcional mas instrutiva)
Se derivarmos implicitamente \Phi(x,y)=C, obtemos
\frac{\partial \Phi}{\partial x}\,dx + \frac{\partial \Phi}{\partial y}\,dy = 0,
isto é
(y+2x y^{3})\,dx + (1+3x^{2}y^{2}+x)\,dy = 0,
que é exatamente a equação original. Portanto está consistente.

Resposta

A equação é exata.
x y + x^{2} y^{3} + y = C

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