teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
frac{2 y}{3} d t+frac{1}{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{2\,y}{3}\,dt+\frac{1}{2}\,dy=0
e pede para testar se ela é exata e resolver as que forem exatas.
As informações relevantes que temos são os coeficientes das formas diferenciais:
M(t,y)=\frac{2}{3}y,\qquad N(t,y)=\frac{1}{2}.

Passo 2

O que significa ser uma equação exata?
Se tivermos uma equação na forma
M(t,y)\,dt+N(t,y)\,dy=0,
ela é exata se existir uma função \Phi(t,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=M(t,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(t,y).
Uma condição prática (e necessária numa região adequada) para que essa \Phi exista é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Aqui \partial M/\partial y significa a derivada parcial de M em relação a y mantendo t fixo; e \partial N/\partial t é a derivada parcial de N em relação a t mantendo y fixo. Vou calcular essas derivadas agora.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{2}{3}y\right)=\frac{2}{3},
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{1}{2}\right)=0.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{2}{3}\neq 0=\dfrac{\partial N}{\partial t}, a equação original não é exata.

Passo 4

Mesmo não sendo exata, existe uma técnica muito útil: procurar um fator integrante que dependa só de t (ou só de y) e que, ao multiplicar a equação, a torne exata. Vou explicar e aplicar a versão que procura um fator integrante \mu(t) dependendo só de t.
A condição para existir \mu(t) tal que \mu(t)M\,dt+\mu(t)N\,dy seja exata é que a função
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial t}}{N}
seja dependente apenas de t (ou seja uma função de t só). Se isso ocorrer, então \mu satisfaz
\frac{\mu'(t)}{\mu(t)}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial t}}{N},
e portanto
\mu(t)=\exp\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial t}}{N}\,dt\right).
Vou calcular essa expressão para o nosso caso.

Passo 5

Calculando a razão mencionada:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial t}}{N} =\frac{\frac{2}{3}-0}{\frac{1}{2}} =\frac{2/3}{1/2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{1}=\frac{4}{3}.
Isso é uma constante, logo depende apenas de t (na verdade não depende de t nem de y). Portanto existe um fator integrante \mu(t) e ele é
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{4}{3}\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{4t}{3}\right).

Passo 6

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{4t/3}:
e^{4t/3}\cdot\frac{2y}{3}\,dt+e^{4t/3}\cdot\frac{1}{2}\,dy=0.
Definindo
\widetilde{M}(t,y)=e^{4t/3}\frac{2y}{3},\qquad \widetilde{N}(t,y)=e^{4t/3}\frac{1}{2},
verifiquemos a exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=e^{4t/3}\frac{2}{3},
\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial t}=\frac{1}{2}\cdot e^{4t/3}\cdot\frac{4}{3}=e^{4t/3}\frac{2}{3}.
Como as derivadas parciais são iguais, a equação multiplicada por \mu é exata.

Passo 7

Agora resolvemos a equação exata. Procuramos \Phi(t,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\widetilde{M}(t,y)=e^{4t/3}\frac{2y}{3}.
Integramos \widetilde{M} em relação a t, tratando y como constante:
\Phi(t,y)=\int e^{4t/3}\frac{2y}{3}\,dt + g(y).
Calcule a integral:
\int e^{4t/3}\frac{2y}{3}\,dt=\frac{2y}{3}\cdot\int e^{4t/3}\,dt =\frac{2y}{3}\cdot\left(\frac{3}{4}e^{4t/3}\right)=\frac{y}{2}e^{4t/3}.
Assim
\Phi(t,y)=\frac{y}{2}e^{4t/3}+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar. Agora impomos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}(t,y)=\frac{1}{2}e^{4t/3}.
Calculando a derivada de \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{1}{2}e^{4t/3}+g'(y).
Igualando:
\frac{1}{2}e^{4t/3}+g'(y)=\frac{1}{2}e^{4t/3}\quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0.
Logo g(y) é constante; podemos incorporá-la numa constante global.
Assim a função potencial é
\Phi(t,y)=\frac{y}{2}e^{4t/3}+C.
A solução implícita da equação exata é \Phi(t,y)=\text{constante}, ou seja
\frac{y}{2}e^{4t/3}=C_1.

Passo 8

Isolando y para obter a solução explícita:
y=2C_1 e^{-4t/3}.
Renomeando a constante arbitrary C=2C_1, obtemos a forma mais simples
y(t)=C e^{-4t/3},
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

y(t)=C e^{-4t/3}

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