teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
frac{2 y}{3} d t+frac{1}{2} d y=0
frac{2 y}{3} d t+frac{1}{2} d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para testar se ela é exata e resolver as que forem exatas.
As informações relevantes que temos são os coeficientes das formas diferenciais:
As informações relevantes que temos são os coeficientes das formas diferenciais:
Passo 2
O que significa ser uma equação exata?
Se tivermos uma equação na forma
Se tivermos uma equação na forma
ela é exata se existir uma função
tal que
Uma condição prática (e necessária numa região adequada) para que essa
exista é
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo; e
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo. Vou calcular essas derivadas agora.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação original não é exata.
Passo 4
Mesmo não sendo exata, existe uma técnica muito útil: procurar um fator integrante que dependa só de
(ou só de
) e que, ao multiplicar a equação, a torne exata. Vou explicar e aplicar a versão que procura um fator integrante
dependendo só de
.
A condição para existir
tal que
seja exata é que a função
seja dependente apenas de
(ou seja uma função de
só). Se isso ocorrer, então
satisfaz
e portanto
Vou calcular essa expressão para o nosso caso.
Passo 5
Calculando a razão mencionada:
Isso é uma constante, logo depende apenas de
(na verdade não depende de
nem de
). Portanto existe um fator integrante
e ele é
Passo 6
Multiplicamos a equação original por
:
Definindo
verifiquemos a exatidão:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 7
Agora resolvemos a equação exata. Procuramos
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Calcule a integral:
Assim
onde
é uma função a determinar. Agora impomos
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando:
Logo
é constante; podemos incorporá-la numa constante global.
Assim a função potencial é
A solução implícita da equação exata é
, ou seja
Passo 8
Isolando
para obter a solução explícita:
Renomeando a constante arbitrary
, obtemos a forma mais simples
onde
é uma constante arbitrária.