teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
(y sen x+x y cos x) d x+(x sen x+1) d y=0
(y sen x+x y cos x) d x+(x sen x+1) d y=0
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: temos a equação diferencial
O que o exercício pede:
- Testar se a equação é exata.
- Caso seja exata, resolver (achar a solução geral).
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Passo 2
Conceito e teste de exatidão (explicação didática):
Uma equação diferencial na forma
Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Um teste prático: se
e
têm derivadas parciais contínuas numa região, a equação é exata quando
Calculemos as derivadas parciais (com calma, passo a passo).
Derivando em relação a
:
Derivando
porque
e
(tratamos
como constante ao derivar em relação a
).
Derivando
em relação a
:
porque usamos a regra do produto para
:
.
Como
a equação é exata. Boa notícia!
Passo 3
Como achar a função potencial
(estratégia e fórmula):
Sabemos que . Então integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Sabemos que
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
perdemos informação sobre dependência exclusiva em
).
Calculemos
passo a passo:
A primeira integral é simples:
A segunda integral exige integração por partes. Fórmula de integração por partes: se
então
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Agora juntamos:
Observação: os termos com
cancelaram
. Não esqueça de adicionar a função
. Portanto
Passo 4
Determinar
usando
(explicação e cálculo):
Agora derivamos em relação a
e igualamos a
:
Agora derivamos
Pelo requisito de exatidão isso deve ser igual a
, isto é,
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Integramos em relação a
:
onde
é constante. Podemos incorporar
na constante final da solução implícita, então tomamos
para construir a função potencial (a constante final aparecerá depois).
Logo
Passo 5
Obter a solução geral (forma implícita) e simplificação final:
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária. Então
Podemos fatorar
para uma forma mais enxuta:
Esta é a solução implícita geral. Se for necessário isolar
(quando
), temos
Mas a forma implícita
já é a resposta geral.