teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
(y sen x+x y cos x) d x+(x sen x+1) d y=0

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: temos a equação diferencial
\bigl(y\sin x + x y\cos x\bigr)\,dx + \bigl(x\sin x + 1\bigr)\,dy = 0.
O que o exercício pede:
  • Testar se a equação é exata.
  • Caso seja exata, resolver (achar a solução geral).
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
M(x,y)=y\sin x + x y\cos x, \qquad N(x,y)=x\sin x + 1.

Passo 2

Conceito e teste de exatidão (explicação didática):
Uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
Um teste prático: se M e N têm derivadas parciais contínuas numa região, a equação é exata quando
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais (com calma, passo a passo).
Derivando M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\sin x + x y\cos x\bigr) = \sin x + x\cos x,
porque \frac{\partial}{\partial y}(y\sin x)=\sin x e \frac{\partial}{\partial y}(x y\cos x)=x\cos x (tratamos x como constante ao derivar em relação a y).
Derivando N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin x + 1\bigr) = \sin x + x\cos x,
porque usamos a regra do produto para x\sin x: \frac{d}{dx}(x\sin x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\sin x + x\cos x=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata. Boa notícia!

Passo 3

Como achar a função potencial \psi(x,y) (estratégia e fórmula):
Sabemos que \psi_x=M. Então integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x perdemos informação sobre dependência exclusiva em y).
Calculemos \int M\,dx passo a passo:
\int \bigl(y\sin x + x y\cos x\bigr)\,dx = y\int \sin x\,dx + y\int x\cos x\,dx.
A primeira integral é simples:
\int \sin x\,dx = -\cos x.
A segunda integral exige integração por partes. Fórmula de integração por partes: se \int u\,dv então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=x e dv=\cos x\,dx. Então du=dx e v=\sin x. Aplicando:
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x - (-\cos x) = x\sin x + \cos x.
Agora juntamos:
\int M\,dx = y(-\cos x) + y\bigl(x\sin x + \cos x\bigr) = y\bigl(-\cos x + x\sin x + \cos x\bigr) = x y\sin x.
Observação: os termos com \cos x cancelaram (-\cos x + \cos x = 0). Não esqueça de adicionar a função h(y). Portanto
\psi(x,y)=x y\sin x + h(y).

Passo 4

Determinar h(y) usando \psi_y=N (explicação e cálculo):
Agora derivamos \psi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y\sin x + h(y)\bigr) = x\sin x + h'(y).
Pelo requisito de exatidão isso deve ser igual a N(x,y), isto é,
x\sin x + h'(y) = x\sin x + 1.
Subtraindo x\sin x dos dois lados obtemos
h'(y)=1.
Integramos em relação a y:
h(y)=\int 1\,dy = y + C_{0},
onde C_{0} é constante. Podemos incorporar C_{0} na constante final da solução implícita, então tomamos h(y)=y para construir a função potencial (a constante final aparecerá depois).
Logo
\psi(x,y)=x y\sin x + y.

Passo 5

Obter a solução geral (forma implícita) e simplificação final:
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
\psi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária. Então
x y\sin x + y = C.
Podemos fatorar y para uma forma mais enxuta:
y\bigl(x\sin x + 1\bigr)=C.
Esta é a solução implícita geral. Se for necessário isolar y (quando x\sin x + 1\neq 0), temos
y=\frac{C}{x\sin x + 1}.
Mas a forma implícita y(x\sin x + 1)=C já é a resposta geral.

Resposta

y\bigl(x\sin x + 1\bigr)=C

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