(vale 1,5 ) Considere
a função dada por
(a) Seja
a superfície de nível que passa pelo ponto
. Resolva os itens a seguir: (a.1) (vale 0,1 ) Determine
;
(a.2) (vale 0,4 ) Descreva
na forma de conjunto.
(b) Considere
a curva de nível de
definida pelo plano
. Ou seja,
é a interseção de
com o plano
. Resolva os itens a seguir:
(b.1) (vale 0,2 ) Esboce, na mesma janela gráfica,
e
;
(b.2) (vale 0,4) Descreva
na forma de conjunto;
(b.3) (vale 0,4 ) Obtenha uma parametrização para a curva
.
(a.2) (vale 0,4 ) Descreva
(b) Considere
(b.1) (vale 0,2 ) Esboce, na mesma janela gráfica,
(b.2) (vale 0,4) Descreva
(b.3) (vale 0,4 ) Obtenha uma parametrização para a curva
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e define
como a superfície de nível que passa por
. O enunciado pede:
(a.1) determinar (o valor da superfície de nível que passa por esse ponto);
(a.2) descrever como conjunto;
(b) seja a curva obtida intersectando
com o plano
. Pede-se:
(b.1) esboçar, na mesma janela, e
;
(b.2) descrever como conjunto;
(b.3) encontrar uma parametrização para .
(a.1) determinar
(a.2) descrever
(b) seja
(b.1) esboçar, na mesma janela,
(b.2) descrever
(b.3) encontrar uma parametrização para
Informações relevantes dadas:
- A função
e a condição . - O ponto
pertence a (logo ). - O plano que define a curva de nível é
.
Passo 2
Calcular
avaliando
no ponto dado. Substituímos
,
,
em
:
Agora fazemos as contas passo a passo:
, e
. Então
Portanto o valor da superfície de nível que passa por esse ponto é
.
Passo 3
Descrever
usando
. A definição de superfície de nível é
Substituindo
,
Resolvendo a equação para
(lembrando
) temos
Portanto, uma descrição explícita útil é
Interpretação geométrica (passo didático): essa equação é a de um cone circular reto com vértice na origem, aberto para cima. A condição
indica que, para cada distância radial
no plano
, a altura
é exatamente
; isso gera um cone cujo gerador faz 45° com o eixo
.
Passo 4
Definir a curva
como interseção de
com o plano
. Para obter a equação da interseção, substituímos
em
:
Calculando
, obtemos
Como estamos intersectando com o plano
, todos os pontos têm coordenada
. Assim a interseção é um círculo de raio
localizado na altura
.
Passo 5
Descrever
na forma de conjunto. Juntando a equação do círculo com a coordenada fixa em
, obtemos
Explicação didática: isto significa que
é o círculo horizontal centrado na origem do plano
com raio
.
Passo 6
Esboço (instruções passo a passo para desenhar
e
na mesma janela gráfica):
- Desenhe um sistema de eixos tridimensional com o eixo
vertical e os eixos e no plano horizontal. - Esboce o cone
: a partir da origem desenhe duas geratrizes (linhas) formando um ângulo de com o eixo . Como só queremos a parte com , desenhe apenas a “metade superior” do cone (um cone circular aberto para cima). - Marque a altura
no eixo vertical. - No plano horizontal na altura
, desenhe um círculo de raio centrado na projeção da origem. Este círculo é exatamente a interseção do plano com o cone. - Marque pontos notáveis do círculo, por exemplo
, , , , para ajudar na visualização.
Observação: o círculo fica “encaixado” na superfície do cone, isto é, toca o cone em todos os pontos do círculo.
Passo 7
Encontrar uma parametrização para
. Para um círculo de raio
no plano
, a parametrização padrão em coordenadas polares é:
com
.
Explicação do porquê funciona (didática): em coordenadas polares no plano
um ponto de raio
é
. Aqui
, então a projeção no plano
é
. Como a curva está no plano
, mantemos
. Verificação rápida: substituindo na equação do círculo,
logo satisfaz a equação
. O parâmetro
varia de
a
para percorrer o círculo uma vez; a escolha da orientação (sentido anti-horário visto de cima) corresponde ao aumento de
.
Resposta
(a.1)
(a.2)
(b.1) Esboço: cone (metade superior) e círculo
no plano
(círculo de raio
centrado na origem em
)
(b.2)
(b.3)
(a.2)
(b.1) Esboço: cone
(b.2)
(b.3)