(vale 1,5 ) Considere f a função dada por
f(x, y, z)=z^{2}-x^{2}-y^{2}, \quad z \geq 0
(a) Seja S_{k} a superfície de nível que passa pelo ponto (1,1, \sqrt{2}). Resolva os itens a seguir: (a.1) (vale 0,1 ) Determine k;
(a.2) (vale 0,4 ) Descreva S_{k} na forma de conjunto.
(b) Considere C_{k} a curva de nível de S_{k} definida pelo plano z=\sqrt{2}. Ou seja, C_{k} é a interseção de S_{k} com o plano z=\sqrt{2}. Resolva os itens a seguir:
(b.1) (vale 0,2 ) Esboce, na mesma janela gráfica, S_{k} e C_{k};
(b.2) (vale 0,4) Descreva C_{k} na forma de conjunto;
(b.3) (vale 0,4 ) Obtenha uma parametrização para a curva C_{k}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=z^{2}-x^{2}-y^{2},\qquad z\ge 0,
e define S_{k} como a superfície de nível que passa por (1,1,\sqrt{2}). O enunciado pede:
(a.1) determinar k (o valor da superfície de nível que passa por esse ponto);
(a.2) descrever S_{k} como conjunto;
(b) seja C_{k} a curva obtida intersectando S_{k} com o plano z=\sqrt{2}. Pede-se:
(b.1) esboçar, na mesma janela, S_{k} e C_{k};
(b.2) descrever C_{k} como conjunto;
(b.3) encontrar uma parametrização para C_{k}.
Informações relevantes dadas:
  • A função f e a condição z\ge 0.
  • O ponto (1,1,\sqrt{2}) pertence a S_{k} (logo f(1,1,\sqrt{2})=k).
  • O plano que define a curva de nível é z=\sqrt{2}.

Passo 2

Calcular k avaliando f no ponto dado. Substituímos x=1, y=1, z=\sqrt{2} em f:
f(1,1,\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{2}-1^{2}-1^{2}.
Agora fazemos as contas passo a passo: (\sqrt{2})^{2}=2, e 1^{2}=1. Então
f(1,1,\sqrt{2})=2-1-1=0.
Portanto o valor da superfície de nível que passa por esse ponto é k=0.

Passo 3

Descrever S_{k} usando k=0. A definição de superfície de nível é
S_{0}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=0,\; z\ge 0\}.
Substituindo f,
S_{0}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z^{2}-x^{2}-y^{2}=0,\; z\ge 0\}.
Resolvendo a equação para z (lembrando z\ge0) temos
z^{2}=x^{2}+y^{2}\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Portanto, uma descrição explícita útil é
S_{0}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\; z\ge 0\}.
Interpretação geométrica (passo didático): essa equação é a de um cone circular reto com vértice na origem, aberto para cima. A condição z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} indica que, para cada distância radial r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} no plano xy, a altura z é exatamente r; isso gera um cone cujo gerador faz 45° com o eixo z.

Passo 4

Definir a curva C_{k} como interseção de S_{0} com o plano z=\sqrt{2}. Para obter a equação da interseção, substituímos z=\sqrt{2} em f(x,y,z)=0:
(\sqrt{2})^{2}-x^{2}-y^{2}=0.
Calculando (\sqrt{2})^{2}=2, obtemos
2-x^{2}-y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=2.
Como estamos intersectando com o plano z=\sqrt{2}, todos os pontos têm coordenada z=\sqrt{2}. Assim a interseção é um círculo de raio \sqrt{2} localizado na altura z=\sqrt{2}.

Passo 5

Descrever C_{k} na forma de conjunto. Juntando a equação do círculo com a coordenada fixa em z, obtemos
C_{0}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=2,\; z=\sqrt{2}\}.
Explicação didática: isto significa que C_{0} é o círculo horizontal centrado na origem do plano z=\sqrt{2} com raio r=\sqrt{2}.

Passo 6

Esboço (instruções passo a passo para desenhar S_{0} e C_{0} na mesma janela gráfica):
  1. Desenhe um sistema de eixos tridimensional com o eixo z vertical e os eixos x e y no plano horizontal.
  2. Esboce o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}: a partir da origem desenhe duas geratrizes (linhas) formando um ângulo de 45^\circ com o eixo z. Como só queremos a parte com z\ge0, desenhe apenas a “metade superior” do cone (um cone circular aberto para cima).
  3. Marque a altura z=\sqrt{2} no eixo vertical.
  4. No plano horizontal na altura z=\sqrt{2}, desenhe um círculo de raio \sqrt{2} centrado na projeção da origem. Este círculo é exatamente a interseção do plano com o cone.
  5. Marque pontos notáveis do círculo, por exemplo (\sqrt{2},0,\sqrt{2}), (0,\sqrt{2},\sqrt{2}), (- \sqrt{2},0,\sqrt{2}), (0,-\sqrt{2},\sqrt{2}), para ajudar na visualização.
    Observação: o círculo fica “encaixado” na superfície do cone, isto é, toca o cone em todos os pontos do círculo.

Passo 7

Encontrar uma parametrização para C_{0}. Para um círculo de raio \sqrt{2} no plano z=\sqrt{2}, a parametrização padrão em coordenadas polares é:
x(t)=\sqrt{2}\cos t,\qquad y(t)=\sqrt{2}\sin t,\qquad z(t)=\sqrt{2},
com t\in[0,2\pi).
Explicação do porquê funciona (didática): em coordenadas polares no plano xy um ponto de raio r é (r\cos t,r\sin t). Aqui r=\sqrt{2}, então a projeção no plano xy é (\sqrt{2}\cos t,\sqrt{2}\sin t). Como a curva está no plano z=\sqrt{2}, mantemos z(t)=\sqrt{2}. Verificação rápida: substituindo na equação do círculo,
x(t)^{2}+y(t)^{2}=(\sqrt{2}\cos t)^{2}+(\sqrt{2}\sin t)^{2}=2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=2,
logo satisfaz a equação x^{2}+y^{2}=2. O parâmetro t varia de 0 a 2\pi para percorrer o círculo uma vez; a escolha da orientação (sentido anti-horário visto de cima) corresponde ao aumento de t.

Resposta

(a.1) k=0
(a.2) S_{k}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z^{2}-x^{2}-y^{2}=0,\; z\ge 0\}=\{(x,y,z)\mid z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\; z\ge 0\}
(b.1) Esboço: cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (metade superior) e círculo x^{2}+y^{2}=2 no plano z=\sqrt{2} (círculo de raio \sqrt{2} centrado na origem em z=\sqrt{2})
(b.2) C_{k}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=2,\; z=\sqrt{2}\}
(b.3) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{2}\cos t,\;\sqrt{2}\sin t,\;\sqrt{2}\bigr),\quad t\in[0,2\pi)

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