(vale 2,5 ) Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=e^{x}
(a) (vale 0,6 ) Determine a solução geral da equação homogênea associada.
(b) (vale 1,5 ) Usando o método de variação dos parâmetros, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
(c) (vale 0,4) Escreva a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=e^{x},
e pede três coisas:
(a) determinar a solução geral da equação homogênea associada;
(b) usando o método de variação de parâmetros, encontrar uma solução particular da equação não homogênea;
(c) escrever a solução geral da equação diferencial completa.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função incógnita é y(x), a equação envolve y^{\prime\prime}, y^{\prime} e y, os coeficientes são constantes ( -4 e 4 ) e o termo não homogêneo é e^{x}. Nada mais será assumido neste passo — começamos a resolver a partir do próximo.

Passo 2

Encontrar a solução geral da homogênea significa resolver
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0.
Método: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo:
r^{2}e^{rx}-4re^{rx}+4e^{rx}=0.
Dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtemos a equação característica
r^{2}-4r+4=0.
Essa é uma quadrática; calcule suas raízes:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0,
logo temos uma raiz dupla r=2 (multiplicidade 2). Quando a raiz da característica é dupla, as duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{2x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos ao método de variação de parâmetros para achar uma solução particular y_{p} da equação não homogênea. Ideia básica (explicada devagar): em vez de C_{1},C_{2} constantes, tomamos funções u_{1}(x),u_{2}(x) e tentamos
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
com y_{1},y_{2} as soluções fundamentais já encontradas. Para determinar u_{1},u_{2} impomos duas condições úteis (padrão no método) que simplificam cálculos:
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
e
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=g(x),
onde g(x) é o termo não homogêneo do lado direito da forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x). No nosso caso a equação já está nessa forma com g(x)=e^{x}. Essas duas equações lineares para u_{1}' e u_{2}' são resolvidas usando determinantes (ou a fórmula do método), e aparecem os termos com o Wronskiano.

Passo 4

Escolhemos as soluções fundamentais (já obtidas):
y_{1}(x)=e^{2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{2x}.
Calcule as derivadas:
y_{1}'(x)=2e^{2x},\qquad y_{2}'(x)=e^{2x}+2x e^{2x}=e^{2x}(1+2x).
O Wronskiano W(x) é
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'.
Substituindo:
W(x)=e^{2x}\cdot e^{2x}(1+2x) - x e^{2x}\cdot 2e^{2x} = e^{4x}(1+2x-2x)=e^{4x}.
Portanto W(x)=e^{4x}, que nunca é zero — ótimo, isso garante unicidade das funções u_{1}',u_{2}'.

Passo 5

As fórmulas padrão para variação de parâmetros (quando a equação está escrita como y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)) são
u_{1}'(x)=-\frac{g(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{g(x)\,y_{1}(x)}{W(x)}.
Aqui g(x)=e^{x}. Substituindo y_{1},y_{2},W:
u_{1}'(x)=-\frac{e^{x}\cdot x e^{2x}}{e^{4x}}=-x e^{-x},
porque e^{x}e^{2x}=e^{3x} e e^{3x}/e^{4x}=e^{-x}. E
u_{2}'(x)=\frac{e^{x}\cdot e^{2x}}{e^{4x}}=e^{-x}.

Passo 6

Integramos para obter u_{1} e u_{2}. Primeiro u_{1}:
u_{1}(x)=\int u_{1}'(x)\,dx=\int -x e^{-x}\,dx.
Fazemos integração por partes em \int x e^{-x}dx. Escolha u=x e dv=e^{-x}dx. Então du=dx e v=-e^{-x}. Assim
\int x e^{-x}dx = uv-\int v\,du = -x e^{-x} + \int e^{-x}dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x}+C.
Portanto
u_{1}(x)=-\int x e^{-x}dx = -\big( -(x+1)e^{-x}\big)= (x+1)e^{-x}+C.
Para construir uma solução particular podemos escolher as constantes de integração C iguais a zero (qualquer constante adicionada aqui seria absorvida pelas constantes da solução homogênea). Assim tomamos
u_{1}(x)=(x+1)e^{-x}.

Passo 7

Agora u_{2}:
u_{2}(x)=\int u_{2}'(x)\,dx=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C.
Escolhemos C=0 para a função u_{2} particular, então
u_{2}(x)=-e^{-x}.

Passo 8

Construímos a solução particular y_{p} usando
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Substituindo:
y_{p}(x)=(x+1)e^{-x}\cdot e^{2x} \;+\; (-e^{-x})\cdot x e^{2x}.
Simplifique termo a termo: (x+1)e^{-x}e^{2x}=(x+1)e^{x} e -e^{-x}x e^{2x}=-x e^{x}. Somando:
y_{p}(x)=(x+1)e^{x}-x e^{x}=e^{x}.
Portanto uma solução particular obtida pelo método de variação de parâmetros é
y_{p}(x)=e^{x}.

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea geral com uma particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}+e^{x}.
Pronto — essa é a família completa de soluções.

Resposta

(a) y_{h}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}
(b) y_{p}(x)=e^{x}
(c) y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}+e^{x}

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