(a) (vale 0,6 ) Determine a solução geral da equação homogênea associada.
(b) (vale 1,5 ) Usando o método de variação dos parâmetros, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
(c) (vale 0,4) Escreva a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=e^{x},
e pede três coisas:
(a) determinar a solução geral da equação homogênea associada;
(b) usando o método de variação de parâmetros, encontrar uma solução particular da equação não homogênea;
(c) escrever a solução geral da equação diferencial completa.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função incógnita é y(x), a equação envolve y^{\prime\prime}, y^{\prime} e y, os coeficientes são constantes ( -4 e 4 ) e o termo não homogêneo é e^{x}. Nada mais será assumido neste passo — começamos a resolver a partir do próximo.
Passo 2
Encontrar a solução geral da homogênea significa resolver
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0.
Método: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo:
r^{2}e^{rx}-4re^{rx}+4e^{rx}=0.
Dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtemos a equação característica
r^{2}-4r+4=0.
Essa é uma quadrática; calcule suas raízes:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0,
logo temos uma raiz dupla r=2 (multiplicidade 2). Quando a raiz da característica é dupla, as duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{2x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos ao método de variação de parâmetros para achar uma solução particular y_{p} da equação não homogênea. Ideia básica (explicada devagar): em vez de C_{1},C_{2} constantes, tomamos funções u_{1}(x),u_{2}(x) e tentamos
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
com y_{1},y_{2} as soluções fundamentais já encontradas. Para determinar u_{1},u_{2} impomos duas condições úteis (padrão no método) que simplificam cálculos:
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
e
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=g(x),
onde g(x) é o termo não homogêneo do lado direito da forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x). No nosso caso a equação já está nessa forma com g(x)=e^{x}. Essas duas equações lineares para u_{1}' e u_{2}' são resolvidas usando determinantes (ou a fórmula do método), e aparecem os termos com o Wronskiano.
u_{1}(x)=-\int x e^{-x}dx = -\big( -(x+1)e^{-x}\big)= (x+1)e^{-x}+C.
Para construir uma solução particular podemos escolher as constantes de integração C iguais a zero (qualquer constante adicionada aqui seria absorvida pelas constantes da solução homogênea). Assim tomamos