Em um teste de Estatística do tipo certo ou errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo às questões ao acaso, acertar 70 \% das perguntas?

Passo 1

O enunciado descreve um teste de 100 questões de “certo ou errado” em que o aluno chuta todas as respostas. Cada questão tem duas opções, logo a probabilidade de acertar chutando é \tfrac12. Queremos a probabilidade de o aluno acertar exatamente 70 perguntas, ou seja, 70\% do total. O conteúdo usado será a distribuição binomial.

Passo 2

Seja X o número de acertos do aluno. Como cada resposta é independente e tem probabilidade p=\tfrac12 de acerto, temos
X\sim \mathrm{Binomial}(n=100,\;p=\tfrac12).
A probabilidade pedida é
P(X=70).

Passo 3

Para a distribuição binomial vale a fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k}.
Substituindo n=100, k=70 e p=\tfrac12, obtemos
P(X=70) =\binom{100}{70}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{70}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{30} =\binom{100}{70}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{100}.

Resposta

P(\text{70 acertos})=\binom{100}{70}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{100}.

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