Amostragem para população finita - (2 pontos)
Uma população possui \mathbf{N}=\mathbf{4 . 8 0 0} indivíduos. Deseja-se estimar uma proporção com erro máximo \mathbf{e}=\mathbf{0 , 0 4}, nível de confiança de \mathbf{9 5 \%}(\mathbf{Z}=1,96), assumindo \mathbf{p}=\mathbf{0 , 5}.
Calcule o tamanho mínimo da amostra corrigido para população finita.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o tamanho mínimo da amostra corrigido para população finita. Dados fornecidos (retirei diretamente do enunciado):
N = 4.800,\quad e = 0,04,\quad Z = 1,96,\quad p = 0,5.
Pergunta explícita: qual é o tamanho mínimo da amostra corrigido para população finita?

Passo 2

Primeiro precisamos calcular o tamanho de amostra para população infinita ou muito grande, que chamamos de n_0. A fórmula padrão (para estimar proporção com erro máximo e e nível de confiança dado por Z) é
n_0=\frac{Z^2\,p(1-p)}{e^2}.
Aqui cada símbolo significa:
Z\text{: valor crítico da normal padrão correspondente ao nível de confiança (aqui }1,96\text{)},íãíç
p\text{: proporção estimada na população (aqui }0,5\text{)},çãçã
e\text{: erro máximo permitido (aqui }0,04\text{)}.á
Vou substituir os números e calcular passo a passo.

Passo 3

Calcule Z^2, p(1-p) e e^2:
Z^2 = 1,96^2 = 3,8416,
p(1-p)=0,5\cdot(1-0,5)=0,5\cdot0,5=0,25,
e^2 = 0,04^2 = 0,0016.
Agora calcule o numerador e em seguida n_0:
\text{numerador} = Z^2\cdot p(1-p) = 3,8416\cdot0,25 = 0,9604,
n_0 = \frac{0,9604}{0,0016} = 600,25.
Interpretação: sem considerar a finitude da população, precisaríamos de 600{,}25 observações, ou seja, pelo menos 601 se fosse esse o caso. Mas como a população é finita vamos corrigir.

Passo 4

Para corrigir o tamanho de amostra em população finita usamos a fórmula de correção:
n = \frac{N\,n_0}{N + n_0 - 1},
que é equivalente a
n = \frac{n_0}{1 + \dfrac{n_0-1}{N}}.
Aqui N é o tamanho da população (aqui 4.800) e n_0 é o valor calculado no passo anterior.

Passo 5

Substituindo os valores:
n = \frac{4.800\cdot600{,}25}{4.800 + 600{,}25 - 1} = \frac{2.881.200}{5.399{,}25}.
Agora faço a divisão (mostrando a aproximação):
n \approx 533{,}63.
Como amostra deve ter um número inteiro de indivíduos e queremos garantir o erro máximo especificado, arredondamos para cima.

Passo 6

Arredondando para cima obtemos o tamanho mínimo da amostra corrigido:
n = 534.

Resposta

n = 534

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