Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um individuo submetido ao teste ter nota:
maior que 80 ;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: a nota do teste segue uma distribuição normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=10.
  • Pergunta: determinar a probabilidade de um indivíduo ter nota maior que 80; ou seja, calcular P(X>80), onde X é a nota do teste.

Passo 2

Vamos entender o que significa cada coisa que foi dada (calma, eu explico passo a passo):
  • Quando dizemos que X é normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos
X \sim N(\mu,\sigma^2).
Aqui isso significa \;X \sim N(100,10^2).
  • A média \mu é o centro da distribuição (o “ponto médio” esperado). O desvio padrão \sigma mede o quanto as notas costumam se espalhar ao redor da média: quanto maior \sigma, mais espalhada a distribuição.

Passo 3

Para calcular probabilidades com a normal usamos a padronização (porque tabelas e calculadoras trabalham com a normal padrão). A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde
  • X é a variável original (a nota);
  • \mu é a média;
  • \sigma é o desvio padrão;
  • Z é a nova variável que segue a normal padrão, isto é Z\sim N(0,1) (média 0 e desvio padrão 1).
A ideia é transformar o problema em probabilidades sobre Z, para as quais temos tabelas ou valores conhecidos.

Passo 4

Aplicando a padronização ao ponto X=80:
z=\frac{80-100}{10}=\frac{-20}{10}=-2.
Então X=80 corresponde a Z=-2.

Passo 5

Agora transformamos a probabilidade pedida em termos de Z:
P(X>80)=P\!\left(Z> -2\right).
Usamos a simetria da normal padrão: a distribuição é simétrica em torno de zero, logo
P\!\left(Z> -2\right)=P\!\left(Z< 2\right)=\Phi(2),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão (ou seja, \Phi(a)=P(Z\le a)).

Passo 6

Consultando a tabela da normal padrão (ou calculadora) para z=2{,}00 obtemos
\Phi(2)\approx 0,97725.
Isto significa que a probabilidade pedida é aproximadamente 0,97725, ou seja cerca de 97{,}725\%.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova: uma nota 80 está a 2 desvios-padrão abaixo da média ( (80-100)/10=-2 ), portanto é pouco provável ficar abaixo disso — a grande maioria (aprox. 97{,}7\%) fica acima de 80. Para questões parecidas, sempre padronize com Z=(X-\mu)/\sigma e use a simetria da normal para simplificar leituras de tabela.

Resposta

P(X>80)=0,97725

Exercícios relacionados