Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um individuo submetido ao teste ter nota:
maior que 80 ;
maior que 80 ;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: a nota do teste segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão . - Pergunta: determinar a probabilidade de um indivíduo ter nota maior que
; ou seja, calcular , onde é a nota do teste.
Passo 2
Vamos entender o que significa cada coisa que foi dada (calma, eu explico passo a passo):
- Quando dizemos que
é normalmente distribuída com média e desvio padrão , escrevemos
Aqui isso significa
.
- A média
é o centro da distribuição (o “ponto médio” esperado). O desvio padrão mede o quanto as notas costumam se espalhar ao redor da média: quanto maior , mais espalhada a distribuição.
Passo 3
Para calcular probabilidades com a normal usamos a padronização (porque tabelas e calculadoras trabalham com a normal padrão). A fórmula de padronização é
onde
-
é a variável original (a nota); -
é a média; -
é o desvio padrão; -
é a nova variável que segue a normal padrão, isto é (média e desvio padrão ).
A ideia é transformar o problema em probabilidades sobre
, para as quais temos tabelas ou valores conhecidos.
Passo 4
Aplicando a padronização ao ponto
:
Então
corresponde a
.
Passo 5
Agora transformamos a probabilidade pedida em termos de
:
Usamos a simetria da normal padrão: a distribuição é simétrica em torno de zero, logo
onde
é a função distribuição acumulada da normal padrão (ou seja,
).
Passo 6
Consultando a tabela da normal padrão (ou calculadora) para
obtemos
Isto significa que a probabilidade pedida é aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova: uma nota
está a
desvios-padrão abaixo da média (
), portanto é pouco provável ficar abaixo disso — a grande maioria (aprox.
) fica acima de
. Para questões parecidas, sempre padronize com
e use a simetria da normal para simplificar leituras de tabela.