Planejamento 1: Faça um planejamento 24-1 com a fração principal \mathrm{I}=\mathrm{ABC}. Determine todos os pares associados (aliases).

Passo 1

O enunciado pede: para um planejamento 2^{4-1} (ou seja, 8 corridas) cuja fração principal é dada por \mathrm{I}=\mathrm{ABC}, determinar todos os pares associados (aliases). As informações relevantes que nos deram são: os fatores básicos são A, B, C e D e a fração principal é especificada por \mathrm{I}=\mathrm{ABC}. Para que isso faça sentido num 2^{4-1} (quatro fatores, uma geração), interpretamos a notação \mathrm{I}=\mathrm{ABC} no sentido habitual de projeto fracionário: o gerador escolhido foi D=ABC. A partir disso obtemos a relação definidora que usaremos para achar os aliases.

Passo 2

O que é a relação definidora e por que ela importa?
Se D=ABC então, multiplicando ambos os lados por D, obtemos a relação definidora (a palavra identidade) \;I=ABCD. Esta relação é a base do aliasamento: toda vez que a palavra G=ABCD aparece, ela atua como o “gerador” que confunde (alias) efeitos entre si.

Passo 3

Como obter aliases na prática (regra fácil):
Se a relação definidora é I=G (aqui G=ABCD), então qualquer efeito E é aliasado com E\cdot G. A demonstração simples é: multiplicando I=G por E E = E\cdot G, ou seja, E e E\cdot G são indistinguíveis no planejamento fracionário. Em um caso com um único gerador (p=1), cada efeito aparece exatamente em um par de alias.

Passo 4

Calcular G explicitamente:
Estamos usando G = ABCD (obtido de D=ABC e escrevendo a relação definidora como I=ABCD). Agora aplicamos a regra E \leftrightarrow E\cdot G para os efeitos de ordem 1 (efeitos principais).

Passo 5

Aliases dos efeitos principais (passo a passo, mostrando a álgebra feita sem pular):
Para A:
A\cdot G = A\cdot ABCD = (A\cdot A)BCD = I\cdot BCD = BCD,
portanto A \leftrightarrow BCD.
Para B:
B\cdot G = B\cdot ABCD = (B\cdot B)ACD = ACD,
portanto B \leftrightarrow ACD.
Para C:
C\cdot G = C\cdot ABCD = (C\cdot C)ABD = ABD,
portanto C \leftrightarrow ABD.
Para D:
D\cdot G = D\cdot ABCD = (D\cdot D)ABC = ABC,
portanto D \leftrightarrow ABC.

Passo 6

Aliases das interações de segunda ordem (pares de fatores):
Para AB:
AB\cdot G = AB\cdot ABCD = (A\cdot A)(B\cdot B)CD = CD,
logo AB \leftrightarrow CD.
Para AC:
AC\cdot G = AC\cdot ABCD = (A\cdot A)(C\cdot C)BD = BD,
logo AC \leftrightarrow BD.
Para AD:
AD\cdot G = AD\cdot ABCD = (A\cdot A)(D\cdot D)BC = BC,
logo AD \leftrightarrow BC.

Passo 7

Verificação: interações de terceira ordem reaparecem como aliases dos efeitos principais (por exemplo, ABC\leftrightarrow D já foi listado), mostrando consistência. Assim obtemos todos os pares disjuntos de efeitos que ficam confundidos neste 2^{4-1} com gerador D=ABC.

Resposta

A \leftrightarrow BCD
B \leftrightarrow ACD
C \leftrightarrow ABD
D \leftrightarrow ABC
AB \leftrightarrow CD
AC \leftrightarrow BD
AD \leftrightarrow BC

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