Em um teste Qui-Quadrado de independência entre variáveis, que característica percebida na amostra faria se rejeitar a hipótese nula?

Passo 1

O enunciado pergunta: num teste de independência Qui-Quadrado em uma tabela de contingência, qual característica da amostra nos levaria a rejeitar a hipótese nula (que as variáveis são independentes). O conteúdo é o teste de independência Qui-Quadrado, e precisaremos saber como se calcula a estatística de teste e em que situação seu valor indica rejeição.

Passo 2

A estatística de teste é
\chi^2 \;=\;\sum_{i}\sum_{j}\frac{\bigl(O_{ij}-E_{ij}\bigr)^2}{E_{ij}}
onde O_{ij} são as frequências observadas e E_{ij} as frequências esperadas sob independência, calculadas por
E_{ij} = \frac{(\text{soma da linha }i)\times(\text{soma da coluna }j)}{\text{total da amostra}}.
Com essa estatística, comparamos \chi^2 ao valor crítico \chi^2_{1-\alpha,\nu}, onde \nu=(r-1)(c-1) são os graus de liberdade da tabela r\times c. Se
\chi^2_{\text{calculado}} > \chi^2_{1-\alpha,\nu},
então rejeitamos H_0.

Passo 3

Em termos práticos, rejeitar H_0 significa que as frequências observadas diferem muito daquelas que esperaríamos se não houvesse associação. Ou seja, vários termos \bigl(O_{ij}-E_{ij}\bigr)^2/E_{ij} são elevados, resultando em \chi^2 grande.

Passo 4

Portanto, a característica na amostra que leva à rejeição de H_0 é a presença de discrepâncias acentuadas entre O_{ij} e E_{ij}, isto é, células com muitos mais ou muitos menos casos do que seria previsto pela independência.

Resposta

Rejeita-se H_0 quando as frequências observadas divergem fortemente das esperadas, gerando uma estatística Qui-Quadrado grande (e, consequentemente, p < \alpha).

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