Teste da Razão: Seja mostre que:
Se r<1 então sumn=1^infty an é absolutamente convergente;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos uma série r<1 e definimos ,\ então, se $r<1$, a série é absolutamente convergente. O conteúdo é o Teste da Razão para séries e vamos precisar usar comparação com série geométrica.
Passo 2
Suponha que $r<1$. Escolhemos um r<1 tal que r<1.\ Isso é possível porque $r<1$.
Passo 3
Pelo limite $\lim|a_{n+1}/a_n|=r$, existe $N$ tal que, para todo $n\ge N$, temos lim|an+1/an|=r.\ Logo, para $n\ge N$, vale N.
Passo 4
Aplicando essa desigualdade por indução, para todo $k\ge0$ obtemos k>=0.\ De fato, para $k=1$ tivemos acima e o passo indutivo segue multiplicando por $q$.
Passo 5
Agora, separamos a soma em duas partes: as parcelas iniciais e a cauda . A primeira é finita pois é um número finito de termos.
Passo 6
Para a cauda, reindexamos com $k=n-N$ e usamos $ |a_{N+k}|<q^k|a_N|$:
Como $q<1$, a série geométrica q<1 é convergente. Logo a cauda $\sum_{n=N+1}^{\infty}|a_n|$ converge.
Passo 9
Somando a parte inicial (finitos termos) com a cauda (que converge), concluímos que $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ converge. Portanto, a série original é absolutamente convergente.
Resposta
A série sumn=1^inftyan é absolutamente convergente.