Teste da Razão: Seja mostre que:
Se r=1 então o teste é inconclusivo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no Teste da Razão para séries, se
r = limn to infty |an+1an| = 1,
o teste não consegue nos dizer se a série converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste da razão para séries infinitas e precisaremos usar exemplos de séries conhecidas para ilustrar a inconclusividade.
Passo 2
Vamos lembrar o enunciado completo do teste da razão. Para uma série sum an com termos não nulos, definimos
r = limn to infty |an+1an|
Então o teste diz:
– Se r < 1, a série converge absolutamente.
– Se r > 1, a série diverge.
– Se r = 1, o teste não diz nada (inconclusivo).
Passo 3
Para ver por que o caso r = 1 é realmente inconclusivo, vamos dar um exemplo de série divergente com razão limite igual a 1. Considere a série harmônica
an = 1n, sumn=1^infty 1n
Calculamos
|an+1an| = 1/(n+1)1/n = nn+1 to 1
porém sabemos que sum 1/n diverge. Logo, mesmo com r=1, a série não converge.
Passo 4
Agora mostremos uma série convergente cujo r também vale 1. Tome a série p com p=2:
an = 1n^2, sumn=1^infty 1n^2
Temos
|an+1an| = 1/(n+1)^21/n^2 = l(nn+1r)^2 to 1,
mas sabemos que sum 1/n^2 converge (é o caso p>1).
Passo 5
Como encontramos uma série divergente e outra convergente ambas com r=1, fica claro que o Teste da Razão não consegue decidir o que acontece quando r=1. Portanto, o caso r=1 é inconclusivo.
Resposta
Como existem séries com r=1 que divergem (como a harmônica) e outras que convergem (como a de termo 1/n^2), o Teste da Razão é inconclusivo quando r=1.