Teste da Razão: Seja r=lim |an+1an| mostre que:
Se r>1 então sumn=1^infty an é divergente;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série sumn=1^infty an e definimos r=limntoinfty |an+1an|. Queremos mostrar que se r>1, então a série diverge. Vamos usar o Teste da Razão junto com a condição necessária para convergência (os termos devem tender a zero).

Passo 2

Como r>1, escolhemos um número mu tal que 1. Pela definição de limite, existe N tal que, para todo n>= N, vale
|;|an+1an|-r| o que implica
|an+1an|>mu(n>= N),

Passo 3

A partir de |an+1an|>mu segue por recorrência que, para todo n>= N,
|an|> |aN|,mu^,n-N,

Passo 4

Como mu>1, a sequência |an| cresce exponencialmente e, portanto,
limntoinfty|an|=inftyneq 0,

Passo 5

Mas um requisito essencial para a convergência de sum an é que anto 0. Como isso não ocorre, a série não pode convergir.

Resposta

A série sumn=1^infty an diverge.

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