Use uma série de potências para calcular, com precisão de quatro casas decimais, o valor da quantidade dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o valor de
usando uma série de potências, com uma precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos utilizar a série de Taylor para o logaritmo natural, que nos ajuda a aproximar valores de funções usando somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a série de Taylor para
é dada por:
Essa série converge quando
. Nosso objetivo é usar essa série para encontrar
, mas diretamente, isso não funciona porque
, e
não está dentro do intervalo de convergência.
Passo 3
Para contornar isso, vamos reescrever
de uma forma que se encaixe na série de Taylor. Podemos expressar
como
, ou seja:
Agora,
é fácil de calcular, e
pode ser ajustado para encaixar na nossa série de potências.
Passo 4
Sabemos que
pode ser calculado como:
Agora, vamos calcular
. Aqui, podemos usar a série de Taylor para
com
, que está dentro do intervalo de convergência.
Aplicando a série:
Vamos calcular termo a termo até alcançarmos a precisão desejada.
Para obter quatro casas decimais, podemos parar aqui:
Resposta
Somando os valores calculados:
Portanto, com precisão de quatro casas decimais,
.