Use uma série de potências para calcular, com precisão de quatro casas decimais, o valor da quantidade dada.
ln 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o valor de ln 5 usando uma série de potências, com uma precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos utilizar a série de Taylor para o logaritmo natural, que nos ajuda a aproximar valores de funções usando somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a série de Taylor para ln(1 + x) é dada por:
ln(1 + x) = x - x^22 + x^33 - x^44 + dots
Essa série converge quando |x| < 1. Nosso objetivo é usar essa série para encontrar ln 5, mas diretamente, isso não funciona porque 5 = 1 + 4, e x = 4 não está dentro do intervalo de convergência.

Passo 3

Para contornar isso, vamos reescrever ln 5 de uma forma que se encaixe na série de Taylor. Podemos expressar 5 como 4 times 54, ou seja:
ln 5 = ln(4 times 54) = ln 4 + ln(54)
Agora, ln 4 é fácil de calcular, e ln(54) pode ser ajustado para encaixar na nossa série de potências.

Passo 4

Sabemos que ln 4 pode ser calculado como:
ln 4 = 2 ln 2 approx 2 times 0.6931 = 1.3862
Agora, vamos calcular ln(54) = ln(1.25). Aqui, podemos usar a série de Taylor para ln(1 + x) com x = 0.25, que está dentro do intervalo de convergência.
Aplicando a série:
ln(1 + 0.25) = 0.25 - (0.25)^22 + (0.25)^33 - (0.25)^44 + dots
Vamos calcular termo a termo até alcançarmos a precisão desejada.
ln(1.25) &approx 0.25 - 0.06252 + 0.0156253 - 0.003906254 &= 0.25 - 0.03125 + 0.0052083 - 0.0009766 &= 0.25 - 0.03125 = 0.21875 & + 0.0052083 = 0.2239583 & - 0.0009766 = 0.2229817
Para obter quatro casas decimais, podemos parar aqui:
ln(1.25) approx 0.2230

Resposta

Somando os valores calculados:
ln 5 = ln 4 + ln(54) approx 1.3862 + 0.2230 = 1.6092
Portanto, com precisão de quatro casas decimais, ln 5 approx 1.6092.

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