Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{\sqrt{n^{3}+2}}

Passo 1

O enunciado pede para testar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{\sqrt{n^{3}+2}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral é a_n = \dfrac{(-1)^{n} n}{\sqrt{n^{3}+2}}.
  • O valor absoluto do termo é |a_n| = \dfrac{n}{\sqrt{n^{3}+2}}.
  • A sequência de sinais é alternante por causa do fator (-1)^{n}.

Passo 2

Entender o que é “absolutamente convergente” e como testar:
  • Definição: a série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge.
  • Ferramenta útil: séries do tipo \sum \dfrac{1}{n^{p}} (séries p) convergem se, e somente se, p>1. Em particular \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sum \dfrac{1}{n^{1/2}} diverge porque 1/2\le 1.
    Vamos comparar |a_n| com \dfrac{1}{\sqrt{n}} usando comparação assintótica (ou limite).

Passo 3

Cálculo do limite comparativo com a série p de p=\tfrac{1}{2}:
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{1/\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{\sqrt{n^{3}+2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}}{\sqrt{n^{3}+2}}.
Factorizando n^{3} dentro da raiz na expressão do denominador:
\sqrt{n^{3}+2}=\sqrt{n^{3}\!\left(1+\frac{2}{n^{3}}\right)}=n^{3/2}\sqrt{1+\frac{2}{n^{3}}}.
Substituindo na razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}}{n^{3/2}\sqrt{1+\frac{2}{n^{3}}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n^{3}}}}=1.
Como o limite é um número finito e positivo ( 1), pela comparação limite (limit comparison) a série \sum |a_n| tem o mesmo comportamento que \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Como \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge (p-serie com p=\tfrac{1}{2}), conclui-se que
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \quad\text{diverge},
ou seja, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Testar convergência condicional (usar o teste da série alternante, critério de Leibniz):
  • O critério de Leibniz diz: se (b_n) é uma sequência positiva e monótona não crescente com \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternada \sum (-1)^{n} b_n converge.
  • Aqui tomamos b_n=\dfrac{n}{\sqrt{n^{3}+2}}. Precisamos verificar que b_n>0, \lim_{n\to\infty} b_n=0 e que b_n é monotona decrescente a partir de algum n.
Primeiro, o limite:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{3}+2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{1+\dfrac{2}{n^{3}}}}=0,
pois o fator \dfrac{1}{\sqrt{n}} tende a 0. Assim a condição do limite é satisfeita.

Passo 5

Verificar que b_n é decrescente (pelo menos a partir de um n finito):
  • Considere a função contínua f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{3}+2}} para x>0. Se f'(x)<0 para x\ge N, então b_n=f(n) é decrescente para n\ge N.
    Calcule a derivada:
f'(x) = \frac{d}{dx}\!\left(x(x^{3}+2)^{-1/2}\right) = (x^{3}+2)^{-1/2} + x\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{3}+2)^{-3/2}\cdot 3x^{2}.
Colocando em evidência:
f'(x)=(x^{3}+2)^{-3/2}\bigl[(x^{3}+2)-\tfrac{3}{2}x^{3}\bigr] =(x^{3}+2)^{-3/2}\bigl(2-\tfrac{1}{2}x^{3}\bigr).
Logo f'(x)<0 quando 2-\tfrac{1}{2}x^{3}<0, isto é, quando x^{3}>4 ou x>\sqrt[3]{4}\approx1{,}587. Portanto f é decrescente para x\ge 2, o que implica que a sequência b_n é decrescente para n\ge 2. Assim existe um N (por exemplo N=2) tal que b_n é decrescente para n\ge N.

Passo 6

Aplicar o critério de Leibniz:
  • Temos b_n>0, b_n tende a 0 e é decrescente a partir de n=2. Portanto a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n
converge. Como já mostramos que a série de valores absolutos diverge, a convergência não é absoluta.

Passo 7

Conclusão final: a série converge, mas não absolutamente — ou seja, ela é condicionalmente convergente. Força aí: o passo-chave é reconhecer que os termos absolutos se comportam como 1/\sqrt{n} (divergente) e que o critério de séries alternantes garante convergência por causa do decrescimento e do limite nulo dos termos.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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