Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para testar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas:
- O termo geral é
. - O valor absoluto do termo é
. - A sequência de sinais é alternante por causa do fator
.
Passo 2
Entender o que é “absolutamente convergente” e como testar:
- Definição: a série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos
converge. - Ferramenta útil: séries do tipo
(séries p) convergem se, e somente se, . Em particular diverge porque .
Vamos compararcom usando comparação assintótica (ou limite).
Passo 3
Cálculo do limite comparativo com a série p de
:
Factorizando
dentro da raiz na expressão do denominador:
Substituindo na razão:
Como o limite é um número finito e positivo (
), pela comparação limite (limit comparison) a série
tem o mesmo comportamento que
. Como
diverge (p-serie com
), conclui-se que
ou seja, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 4
Testar convergência condicional (usar o teste da série alternante, critério de Leibniz):
- O critério de Leibniz diz: se
é uma sequência positiva e monótona não crescente com , então a série alternada converge. - Aqui tomamos
. Precisamos verificar que , e que é monotona decrescente a partir de algum .
Primeiro, o limite:
pois o fator
tende a
. Assim a condição do limite é satisfeita.
Passo 5
Verificar que
é decrescente (pelo menos a partir de um
finito):
- Considere a função contínua
para . Se para , então é decrescente para .
Calcule a derivada:
Colocando em evidência:
Logo
quando
, isto é, quando
ou
. Portanto
é decrescente para
, o que implica que a sequência
é decrescente para
. Assim existe um
(por exemplo
) tal que
é decrescente para
.
Passo 6
Aplicar o critério de Leibniz:
- Temos
, tende a e é decrescente a partir de . Portanto a série alternada
converge. Como já mostramos que a série de valores absolutos diverge, a convergência não é absoluta.
Passo 7
Conclusão final: a série converge, mas não absolutamente — ou seja, ela é condicionalmente convergente. Força aí: o passo-chave é reconhecer que os termos absolutos se comportam como
(divergente) e que o critério de séries alternantes garante convergência por causa do decrescimento e do limite nulo dos termos.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.