Nos items a seguir, esboce o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das funções dadas e encontre seu volume.
z=4-x^2, x+y=2, x=0, y=0, z=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado por z=4 - x^2, pelos planos x+y=2, x=0, y=0 e z=0. O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração tripla, usando projeção no plano xy.

Passo 2

Para montar a integral, projetamos o sólido no plano xy. A projeção D é o triângulo definido por x>=0, y>=0 e x+y<=2. O volume vale V=integral duplaDl(a, onde a altura é dada por z indo de 0 até 4 - x^2. Assim
V=integralx=0^2integraly=0^2-xl(4 - x^2r),dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=0^2-x(4 - x^2),dy=(4 - x^2),(2 - x)

Passo 4

Agora integramos em x:
V=integral0^2(4 - x^2)(2 - x),dx=integral0^2l(8 -4x -2x^2 +x^3r),dx

Passo 5

Efetuando a integração termo a termo:
V=l[8x -2x^2 -tfrac23x^3 +tfrac14x^4r]0^2=l(16 -8 -tfrac163 +4r)=tfrac203

Resposta

V=203.

Exercícios relacionados