Teste a série para convergência ou divergência:
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A pergunta é: a série converge (absoluta ou condicionalmente) ou diverge?
Passo 2
Estratégia simples e rápida: antes de usar qualquer teste mais refinado, verificamos a condição necessária para que uma série infinita
converja, que é
. Vou explicar esse teste e aplicá‑lo aqui — se os termos não tendem a zero, a série diverge imediatamente. Isso costuma salvar tempo na prova.
Passo 3
Explicação do teste (a chamada “condição necessária”): se
converge e
tem limite
finito, então
Portanto, se
(ou não existe), a série não pode convergir. Observação prática: este teste é necessário, mas não suficiente (há séries cujos termos tendem a zero e que ainda assim divergem, por exemplo a série harmônica).
Passo 4
Calcular
. Primeiro olhamos o módulo dos termos:
Vamos estudar
. Considere a função contínua
para
. Aplicando a regra de L’Hôpital ao limite
obtemos
Assim
quando
. Em particular,
, o que implica que
não existe (os termos oscilam em sinal e em módulo crescem sem limite).
Passo 5
Aplicando o teste do termo geral: como
não é
(na verdade os módulos tendem a
), a série não pode convergir. Portanto a série diverge. Nota: isso também descarta convergência absoluta, pois
nem sequer tem termos que tendam a zero.
Resposta
A série diverge.