Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{\ln k}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\frac{k}{\ln k}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
a_k = (-1)^{k}\frac{k}{\ln k}\quad\text{para }k\ge 2.
A pergunta é: a série converge (absoluta ou condicionalmente) ou diverge?

Passo 2

Estratégia simples e rápida: antes de usar qualquer teste mais refinado, verificamos a condição necessária para que uma série infinita
\sum_{k=2}^{\infty} a_k
converja, que é \lim_{k\to\infty} a_k = 0. Vou explicar esse teste e aplicá‑lo aqui — se os termos não tendem a zero, a série diverge imediatamente. Isso costuma salvar tempo na prova.

Passo 3

Explicação do teste (a chamada “condição necessária”): se \sum a_k converge e S_n=\sum_{k=2}^{n}a_k tem limite S finito, então
a_n = S_n - S_{n-1}\to S-S=0.
Portanto, se \lim_{k\to\infty} a_k\neq 0 (ou não existe), a série não pode convergir. Observação prática: este teste é necessário, mas não suficiente (há séries cujos termos tendem a zero e que ainda assim divergem, por exemplo a série harmônica).

Passo 4

Calcular \lim_{k\to\infty} a_k. Primeiro olhamos o módulo dos termos:
|a_k|=\frac{k}{\ln k}.
Vamos estudar \lim_{k\to\infty}\frac{k}{\ln k}. Considere a função contínua f(x)=\dfrac{x}{\ln x} para x>1. Aplicando a regra de L’Hôpital ao limite \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{\ln x} obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1/x} =\lim_{x\to\infty}x =+\infty.
Assim \dfrac{k}{\ln k}\to+\infty quando k\to\infty. Em particular, \lim_{k\to\infty}|a_k|=+\infty, o que implica que \lim_{k\to\infty}a_k não existe (os termos oscilam em sinal e em módulo crescem sem limite).

Passo 5

Aplicando o teste do termo geral: como \lim_{k\to\infty} a_k não é 0 (na verdade os módulos tendem a +\infty), a série não pode convergir. Portanto a série diverge. Nota: isso também descarta convergência absoluta, pois \sum |a_k| nem sequer tem termos que tendam a zero.

Resposta

A série diverge.

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