Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(k \pi / 2)}{k!}

Passo 1

O enunciado pede para testar a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin\!\left(k\frac{\pi}{2}\right)}{k!}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\;k varia por todos os inteiros positivos k=1,2,3,\dots.
O numerador é \sin\!\left(k\frac{\pi}{2}\right) (função seno avaliada em múltiplos de \frac{\pi}{2}).
O denominador é k! (fatorial de k).
Nada mais é fornecido explicitamente.

Passo 2

Vamos identificar os valores de \sin\!\left(k\frac{\pi}{2}\right) para entender os termos da série. Calculando para os primeiros k:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\quad \sin(\pi)=0,\quad \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1,\quad \sin(2\pi)=0.
Portanto a sequência dos valores de \sin\!\left(k\frac{\pi}{2}\right) é periódica de período 4 e segue o padrão
1,\,0,\,-1,\,0,\,1,\,0,\,-1,\,0,\dots
Logo, todos os termos da série para k par são zero, e somente os k ímpares contribuem.

Passo 3

Escrevemos a soma apenas sobre os índices ímpares. Colocando k=2n+1 com n=0,1,2,\dots, temos
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin\!\left(k\frac{\pi}{2}\right)}{k!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin\!\left((2n+1)\frac{\pi}{2}\right)}{(2n+1)!}.
Agora simplificamos \sin\!\left((2n+1)\frac{\pi}{2}\right). Note que
\sin\!\left((2n+1)\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right).
Usando a identidade \sin\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x e \cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos
\sin\!\left((2n+1)\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^n.
Portanto a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}.

Passo 4

Agora testamos a convergência. Primeiro a convergência absoluta: considere a série dos módulos
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{\sin\!\left(k\frac{\pi}{2}\right)}{k!}\right| =\sum_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{1}{k!},
pois |\sin(\cdot)| vale 0 para k par e 1 para k ímpar (conforme o padrão do Passo 2). Como todos os termos positivos aparecem em apenas uma subcoleção dos termos da série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}, temos a comparação
\sum_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{1}{k!}\le \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e-1,
onde usamos que \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e. Como a série dos módulos é majorada por uma constante finita, ela converge. Logo a série original converge absolutamente. Lembrete didático: convergência absoluta implica convergência (ou seja, se \sum |a_k| converge então \sum a_k também converge).

Passo 5

Além de testar a convergência, podemos reconhecer a soma exata. A série que encontramos no Passo 3,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!},
é exatamente a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função \sin x avaliada em x=1. Lembrando a fórmula
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},
tomando x=1 obtemos
\sin 1=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}.
Portanto a soma da nossa série é \sin 1. Isso confirma também a convergência (já vista pela convergência absoluta) e dá o valor numérico da soma.

Resposta

A série converge absolutamente (portanto converge).\nA soma da série é \sin 1.

Exercícios relacionados