Teste a série para convergência ou divergência:
Passo 1
O enunciado pede para testar a série para convergência ou divergência:
Informações relevantes dadas no enunciado:
varia por todos os inteiros positivos
.
O numerador é (função seno avaliada em múltiplos de
).
O denominador é (fatorial de
).
Nada mais é fornecido explicitamente.
O numerador é
O denominador é
Nada mais é fornecido explicitamente.
Passo 2
Vamos identificar os valores de
para entender os termos da série. Calculando para os primeiros
:
Portanto a sequência dos valores de
é periódica de período
e segue o padrão
Logo, todos os termos da série para
par são zero, e somente os
ímpares contribuem.
Passo 3
Escrevemos a soma apenas sobre os índices ímpares. Colocando
com
, temos
Agora simplificamos
. Note que
Usando a identidade
e
, obtemos
Portanto a série fica
Passo 4
Agora testamos a convergência. Primeiro a convergência absoluta: considere a série dos módulos
pois
vale
para
par e
para
ímpar (conforme o padrão do Passo 2). Como todos os termos positivos aparecem em apenas uma subcoleção dos termos da série
, temos a comparação
onde usamos que
. Como a série dos módulos é majorada por uma constante finita, ela converge. Logo a série original converge absolutamente. Lembrete didático: convergência absoluta implica convergência (ou seja, se
converge então
também converge).
Passo 5
Além de testar a convergência, podemos reconhecer a soma exata. A série que encontramos no Passo 3,
é exatamente a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função
avaliada em
. Lembrando a fórmula
tomando
obtemos
Portanto a soma da nossa série é
. Isso confirma também a convergência (já vista pela convergência absoluta) e dá o valor numérico da soma.
Resposta
A série converge absolutamente (portanto converge).\nA soma da série é
.