Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos (k \pi)}{k^{3 / 4}}

Passo 1

O enunciado pede para testar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(k\pi)}{k^{3/4}}
converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A soma é sobre k=1,2,3,\dots.
  • O termo geral é \dfrac{\cos(k\pi)}{k^{3/4}}.
  • A tarefa é decidir convergência (convergência absoluta, condicional) ou divergência.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a parte trigonométrica. Para todo inteiro k vale a identidade
\cos(k\pi)=(-1)^k.
Explicação rápida e didática: \cos(\pi)=-1, \cos(2\pi)=1, \cos(3\pi)=-1 e assim por diante; o sinal alterna a cada incremento de k, portanto \cos(k\pi) toma os valores \pm1 segundo o paridade de k, o que é exatamente (-1)^k. Substituindo isso na série, obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(k\pi)}{k^{3/4}}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^{3/4}}.

Passo 3

Agora isolamos a parte positiva dos termos (módulo dos coeficientes alternantes). Definimos
b_k=\frac{1}{k^{3/4}},\qquad k\ge1.
Vou verificar duas propriedades importantes de b_k:
  1. Positividade: claramente b_k>0 para todo k.
  2. Monotonicidade decrescente: como k\mapsto k^{-3/4} é uma função decrescente para k\ge1, temos b_{k+1}<b_k. Uma forma simples de ver isso sem cálculo é notar que k+1>k implica (k+1)^{3/4}>k^{3/4} e, portanto, \dfrac{1}{(k+1)^{3/4}}<\dfrac{1}{k^{3/4}}.
  3. Tendência a zero: \displaystyle\lim_{k\to\infty} b_k=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k^{3/4}}=0. Intuição: potências positivas de k crescem sem limite, então seu inverso tende a zero.
Essas três observações (positividade, decrescimento e limite zero) são cruciais para testes de séries alternantes.

Passo 4

Aplicamos o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Enunciado do teste (explicado): se temos uma série da forma
\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k b_k
onde (b_k) é uma sequência de números reais tais que (i) b_k\ge0 para todo k, (ii) b_{k+1}\le b_k (sequência não crescente a partir de algum k) e (iii) \lim_{k\to\infty} b_k=0, então a série alternada converge (pelo menos) — isto é, converge condicionalmente ou absolutamente. Aqui nossas b_k=\dfrac{1}{k^{3/4}} satisfazem (i)-(iii) conforme mostrado no Passo 3. Logo
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^{3/4}}
converge por esse teste.
Explicação didática: o teste garante que os termos alternantes com módulo decrescente e tendendo a zero “se cancelam suficientemente” para que as somas parciais formem uma sequência convergente.

Passo 5

Agora verifico se a série converge absolutamente ou não. Para isso considero a série dos módulos:
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^k}{k^{3/4}}\right|=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3/4}}.
Isto é uma série do tipo p-série, com termo geral 1/k^p e p=\tfrac{3}{4}. Lembrete do teste de p-séries: a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p}
converge se, e somente se, p>1; se p\le1 ela diverge. Aqui p=\tfrac{3}{4}<1, portanto
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3/4}}
diverge. Como a série dos módulos diverge, a série original não converge absolutamente.
Comentário adicional (intuição via integral): pode-se também usar o Teste da Integral para ver que \int_1^\infty x^{-3/4}\,dx diverge porque
\int_1^\infty x^{-3/4}\,dx=\left[\frac{x^{1/4}}{1/4}\right]_1^{\infty}=\infty,
confirmando a divergência da série dos módulos.

Passo 6

Conclusão qualitativa e prática para a prova: a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^{3/4}}
converge por ser alternada com termos de módulo decrescentes que tendem a zero (Teste de Leibniz), mas não converge absolutamente porque a série dos módulos é uma p-série com p=\tfrac{3}{4}<1 (que diverge). Portanto a convergência é condicional.
Dica rápida para a prova: quando vir \cos(k\pi) pense imediatamente em (-1)^k; depois cheque se os módulos formam uma p-série (para testar convergência absoluta) e, se for alternante, verifique monotonicidade e limite nulo para aplicar Leibniz.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(k\pi)}{k^{3/4}} converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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