Seja
. Esboce a curva de nível da função
que passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que a gente esboce a curva de nível de
que passa pelo ponto
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
.\n - O ponto por onde a curva de nível deve passar é
.\n
O que é pedido: - Determinar e esboçar (desenhar/descrição) a curva de nível de
que contém .
Passo 2
Entender o que é “curva de nível”: é o conjunto de pontos
onde
tem o mesmo valor (constante). Ou seja, uma curva de nível correspondente a um valor
é
Para achar a curva pedida primeiro precisamos saber qual é o valor
que a curva assume no ponto
. Calculamos
.\n
Calcule :
Calcule
Lembrando uma propriedade básica do logaritmo natural:
. Então
Passo 3
Agora escrevemos a equação da curva de nível correspondente a
. Isso significa impor
Substituindo a definição de
temos
Passo 4
Resolver a equação com logaritmo: se
então
. Aplicando aqui,
Essa é a equação da curva de nível procurada.
Passo 5
Colocar a equação na forma padrão de uma elipse para interpretar os eixos e interceptos. A forma padrão é
onde
é o semi-eixo horizontal e
é o semi-eixo vertical. Comparando com nossa equação,
podemos escrever como
Portanto
e
.
Passo 6
Interpretando geometricamente (isto ajuda no esboço):
- Centro da elipse:
(origem). - Semi-eixo horizontal:
. Interceptos no eixo : e . - Semi-eixo vertical:
. Interceptos no eixo : e . - Como
, a elipse é “esticada” na vertical; eixo maior vertical de comprimento e eixo menor horizontal de comprimento .
Passo 7
Uma parametrização simples que gera a elipse (útil para desenhar) é
Ao variar
a curva passa por
quando
, o que confirma que a elipse realmente contém o ponto pedido.
Passo 8
Como instruções práticas para esboçar no papel (sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e com origem no centro. - Marque os pontos
e no eixo . - Marque os pontos
e no eixo . - Conecte esses quatro pontos com uma curva suave e oval (simétrica em relação aos eixos), formando a elipse desejada.
Resposta
Elipse centrada em
com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical); interceptos
e
.