Seja f(x, y)=\ln \left(x^{2}+\frac{y^{2}}{9}\right). Esboce a curva de nível da função f que passa pelo ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\ln\!\left(x^{2}+\frac{y^{2}}{9}\right) e pede que a gente esboce a curva de nível de f que passa pelo ponto (1,0).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\ln\!\left(x^{2}+\dfrac{y^{2}}{9}\right).\n
  • O ponto por onde a curva de nível deve passar é (1,0).\n
    O que é pedido:
  • Determinar e esboçar (desenhar/descrição) a curva de nível de f que contém (1,0).

Passo 2

Entender o que é “curva de nível”: é o conjunto de pontos (x,y) onde f(x,y) tem o mesmo valor (constante). Ou seja, uma curva de nível correspondente a um valor k é
\{(x,y)\mid f(x,y)=k\}.
Para achar a curva pedida primeiro precisamos saber qual é o valor k que a curva assume no ponto (1,0). Calculamos k=f(1,0).\n
Calcule f(1,0):
f(1,0)=\ln\!\left(1^{2}+\frac{0^{2}}{9}\right)=\ln(1+0)=\ln(1).
Lembrando uma propriedade básica do logaritmo natural: \ln(1)=0. Então
k=f(1,0)=0.

Passo 3

Agora escrevemos a equação da curva de nível correspondente a k=0. Isso significa impor
f(x,y)=0.
Substituindo a definição de f temos
\ln\!\left(x^{2}+\frac{y^{2}}{9}\right)=0.

Passo 4

Resolver a equação com logaritmo: se \ln(A)=0 então A=e^{0}=1. Aplicando aqui,
x^{2}+\frac{y^{2}}{9}=1.
Essa é a equação da curva de nível procurada.

Passo 5

Colocar a equação na forma padrão de uma elipse para interpretar os eixos e interceptos. A forma padrão é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a é o semi-eixo horizontal e b é o semi-eixo vertical. Comparando com nossa equação,
x^{2}+\frac{y^{2}}{9}=1
podemos escrever como
\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1.
Portanto a=1 e b=3.

Passo 6

Interpretando geometricamente (isto ajuda no esboço):
  • Centro da elipse: (0,0) (origem).
  • Semi-eixo horizontal: a=1. Interceptos no eixo x: (1,0) e (-1,0).
  • Semi-eixo vertical: b=3. Interceptos no eixo y: (0,3) e (0,-3).
  • Como b>a, a elipse é “esticada” na vertical; eixo maior vertical de comprimento 2b=6 e eixo menor horizontal de comprimento 2a=2.

Passo 7

Uma parametrização simples que gera a elipse (útil para desenhar) é
x=\cos t,\qquad y=3\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Ao variar t a curva passa por (1,0) quando t=0, o que confirma que a elipse realmente contém o ponto pedido.

Passo 8

Como instruções práticas para esboçar no papel (sem calculadora):
  • Desenhe os eixos x e y com origem no centro.
  • Marque os pontos (1,0) e (-1,0) no eixo x.
  • Marque os pontos (0,3) e (0,-3) no eixo y.
  • Conecte esses quatro pontos com uma curva suave e oval (simétrica em relação aos eixos), formando a elipse desejada.

Resposta

x^{2}+\frac{y^{2}}{9}=1
Elipse centrada em (0,0) com semi-eixos a=1 (horizontal) e b=3 (vertical); interceptos (\pm1,0) e (0,\pm3).

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