Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \cos \left(\frac{\pi}{k}\right)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\cos\!\left(\frac{\pi}{k}\right).
Informações dadas e o que a pergunta exige:
  • Temos os termos gerais a_k = (-1)^{k}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{k}\right).
  • A pergunta é: essa soma infinita converge (absolutamente ou condicionalmente) ou diverge?
  • Não há outras condições fornecidas. Vamos analisar o comportamento dos termos a_k quando k\to\infty e aplicar testes de convergência apropriados.

Passo 2

Teoria essencial (teste necessário para convergência): se uma série
\sum_{k=1}^{\infty} a_k
converge, então o termo geral a_k deve tender a zero:
\lim_{k\to\infty} a_k = 0.
Isso é um teste rápido e obrigatório: se \lim_{k\to\infty} a_k \neq 0 ou não existe, a série diverge. Explicação curta e intuitiva: os somatórios parciais só podem estabilizar em um número finito se os acréscimos a_k forem cada vez menores e tenderem a zero; se os acréscimos não tendem a zero, o somatório não se estabiliza.

Passo 3

Calcule o limite do fator \cos\!\left(\dfrac{\pi}{k}\right) quando k\to\infty. Como \dfrac{\pi}{k}\to 0 e \cos é contínua,
\lim_{k\to\infty}\cos\!\left(\frac{\pi}{k}\right)=\cos(0)=1.
Portanto, para k grande, \cos\!\left(\dfrac{\pi}{k}\right) está próximo de 1.

Passo 4

Analise o limite dos termos a_k = (-1)^k\cos\!\left(\dfrac{\pi}{k}\right). É útil olhar em subsequências par e ímpar:
  • Para k=2n (índices pares),
a_{2n} = (-1)^{2n}\cos\!\left(\frac{\pi}{2n}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2n}\right)\longrightarrow 1.
  • Para k=2n+1 (índices ímpares),
a_{2n+1} = (-1)^{2n+1}\cos\!\left(\frac{\pi}{2n+1}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{2n+1}\right)\longrightarrow -1.
Como as subsequências tendem a 1 e a -1, o limite \lim_{k\to\infty} a_k não existe e, em particular, não é 0.

Passo 5

Aplicando o teste necessário (Passo 2): como \lim_{k\to\infty} a_k não é 0, a série não pode convergir. Logo a série diverge.

Passo 6

Observações adicionais didáticas e comparação com outros testes:
  • O teste de Leibniz (série alternante convergente) exige que os módulos dos termos b_k satisfaçam b_{k}\ge 0, b_{k+1}\le b_k (monotonia decrescente) e \lim_{k\to\infty} b_k = 0. Se tentássemos aplicar aqui com b_k=\cos(\pi/k), vemos que \lim b_k = 1\neq 0 (além disso b_k é crescente), então Leibniz não se aplica.
  • Sobre convergência absoluta: os termos absolutos são |a_k|=|\cos(\pi/k)|, e como |\cos(\pi/k)|\to 1\neq 0, a série \sum |a_k| também não converge (falha no teste necessário). Portanto não há convergência absoluta nem condicional.

Resposta

A série diverge.

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