Teste a série para convergência ou divergência:
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
Informações dadas e o que a pergunta exige:
- Temos os termos gerais
. - A pergunta é: essa soma infinita converge (absolutamente ou condicionalmente) ou diverge?
- Não há outras condições fornecidas. Vamos analisar o comportamento dos termos
quando e aplicar testes de convergência apropriados.
Passo 2
Teoria essencial (teste necessário para convergência): se uma série
converge, então o termo geral
deve tender a zero:
Isso é um teste rápido e obrigatório: se
ou não existe, a série diverge. Explicação curta e intuitiva: os somatórios parciais só podem estabilizar em um número finito se os acréscimos
forem cada vez menores e tenderem a zero; se os acréscimos não tendem a zero, o somatório não se estabiliza.
Passo 3
Calcule o limite do fator
quando
. Como
e
é contínua,
Portanto, para
grande,
está próximo de
.
Passo 4
Analise o limite dos termos
. É útil olhar em subsequências par e ímpar:
- Para
(índices pares),
- Para
(índices ímpares),
Como as subsequências tendem a
e a
, o limite
não existe e, em particular, não é
.
Passo 5
Aplicando o teste necessário (Passo 2): como
não é
, a série não pode convergir. Logo a série diverge.
Passo 6
Observações adicionais didáticas e comparação com outros testes:
- O teste de Leibniz (série alternante convergente) exige que os módulos dos termos
satisfaçam , (monotonia decrescente) e . Se tentássemos aplicar aqui com , vemos que (além disso é crescente), então Leibniz não se aplica. - Sobre convergência absoluta: os termos absolutos são
, e como , a série também não converge (falha no teste necessário). Portanto não há convergência absoluta nem condicional.
Resposta
A série diverge.