Teste a série para convergência ou divergência:
Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{(2 k-1)!}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\frac{(2k-1)!}{3^{k}}
usando o teste da razão. Informações dadas (listadas):
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{k}.
  • O termo geral é (-1)^{k}\dfrac{(2k-1)!}{3^{k}}.
  • O objetivo explícito é usar o teste da razão e decidir convergência, divergência ou dizer que o teste é inconclusivo.

Passo 2

O que é o teste da razão (explicação didática): seja uma série com termos a_k (não nulos). Definimos
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
As conclusões do teste são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1 (incluindo L=\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui |\cdot| significa módulo (valor absoluto) do termo geral; usamos módulo porque o teste da razão decide sobre convergência absoluta.

Passo 3

Identificamos o termo geral e passamos ao cálculo do quociente absoluto. Tome
a_k = (-1)^{k}\frac{(2k-1)!}{3^{k}},
então o valor absoluto é
b_k := |a_k| = \frac{(2k-1)!}{3^{k}}.
Calculamos a razão
\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{\dfrac{(2(k+1)-1)!}{3^{\,k+1}}}{\dfrac{(2k-1)!}{3^{\,k}}} = \frac{(2k+1)!}{3^{\,k+1}}\cdot\frac{3^{\,k}}{(2k-1)!}.

Passo 4

Simplificamos a expressão do passo anterior usando propriedades de fatoriais:
\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{(2k+1)!}{(2k-1)!}\cdot\frac{1}{3} = \frac{(2k+1)(2k)}{3} = \frac{4k^2+2k}{3}.

Passo 5

Agora passamos ao limite que aparece no teste da razão:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{b_{k+1}}{b_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{4k^2+2k}{3}.
Como o numerador cresce como 4k^2 quando k\to\infty, esse limite diverge para +\infty. Em notação,
L=+\infty.

Passo 6

Interpretação do resultado do teste da razão: como obtivemos L=+\infty, temos L>1. Pelo teste da razão, quando L>1 a série diverge. Uma observação intuitiva adicional: o fato de L>1 significa que, em módulo, os termos b_k crescem (eventualmente) em vez de irem a zero; portanto o termo geral da série não tende a zero, o que já garante divergência pela condição necessária de convergência de séries.

Resposta

A série diverge.

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