Teste a série para convergência ou divergência:
Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso. \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{(2 k-1)!}{3^{k}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\frac{(2k-1)!}{3^{k}}
usando o teste da razão. Informações dadas (listadas):
A série é alternada por causa do fator (-1)^{k}.
O termo geral é (-1)^{k}\dfrac{(2k-1)!}{3^{k}}.
O objetivo explícito é usar o teste da razão e decidir convergência, divergência ou dizer que o teste é inconclusivo.
Passo 2
O que é o teste da razão (explicação didática): seja uma série com termos a_k (não nulos). Definimos
Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
Se L>1 (incluindo L=\infty), a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui |\cdot| significa módulo (valor absoluto) do termo geral; usamos módulo porque o teste da razão decide sobre convergência absoluta.
Passo 3
Identificamos o termo geral e passamos ao cálculo do quociente absoluto. Tome
Como o numerador cresce como 4k^2 quando k\to\infty, esse limite diverge para +\infty. Em notação,
L=+\infty.
Passo 6
Interpretação do resultado do teste da razão: como obtivemos L=+\infty, temos L>1. Pelo teste da razão, quando L>1 a série diverge. Uma observação intuitiva adicional: o fato de L>1 significa que, em módulo, os termos b_k crescem (eventualmente) em vez de irem a zero; portanto o termo geral da série não tende a zero, o que já garante divergência pela condição necessária de convergência de séries.